Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения




Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла



Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени


Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций


Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус


Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

    • Copyright by cleverstudents

    Все права защищены.
    Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

    Продолжаем наш разговор про наиболее употребляемые формулы в тригонометрии. Важнейшие из них – формулы сложения.

    Определение 1

    Формулы сложения позволяют выразить функции разности или суммы двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.

    Для начала мы приведем полный список формул сложения, потом докажем их и разберем несколько наглядных примеров.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Основные формулы сложения в тригонометрии

    Выделяют восемь основных формул: синус суммы и синус разности двух углов, косинусы суммы и разности, тангенсы и котангенсы суммы и разности соответственно. Ниже приведены их стандартные формулировки и вычисления.

    1.Синус суммы двух углов можно получить следующим образом:

    Вычисляем произведение синуса первого угла на косинус второго;

    Умножаем косинус первого угла на синус первого;

    Складываем получившиеся значения.

    Графическое написание формулы выглядит так: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

    2. Синус разности вычисляется почти так же, только полученные произведения нужно не сложить, а вычесть друг из друга. Таким образом, вычисляем произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго и находим их разность. Формула пишется так: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

    3. Косинус суммы. Для него находим произведения косинуса первого угла на косинус второго и синуса первого угла на синус второго соответственно и находим их разность: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

    4. Косинус разности: вычисляем произведения синусов и косинусов данных углов, как и ранее, и складываем их. Формула: cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

    5. Тангенс суммы. Эта формула выражается дробью, в числителе которой – сумма тангенсов искомых углов, а в знаменателе – единица, из которой вычитается произведение тангенсов искомых углов. Все понятно из ее графической записи: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

    6. Тангенс разности. Вычисляем значения разности и произведения тангенсов данных углов и поступаем с ними схожим образом. В знаменателе мы прибавляем к единице, а не наоборот: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

    7. Котангенс суммы. Для вычислений по этой формуле нам понадобятся произведение и сумма котангенсов данных углов, с которыми мы поступаем следующим образом: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

    8. Котангенс разности. Формула схожа с предыдущей, но в числителе и знаменателе – минус, а не плюс c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β .

    Вы, наверное, заметили, что эти формулы попарно схожи. При помощи знаков ± (плюс-минус) и ∓ (минус-плюс) мы можем сгруппировать их для удобства записи:

    sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

    Соответственно, мы имеем одну формулу записи для суммы и разности каждого значения, просто в одном случае мы обращаем внимание на верхний знак, в другом – на нижний.

    Определение 2

    Мы можем взять любые углы α и β , и формулы сложения для косинуса и синуса подойдут для них. Если мы можем правильно определить значения тангенсов и котангенсов этих углов, то формулы сложения для тангенса и котангенса будут также для них справедливы.

    Как и большинство понятий в алгебре, формулы сложения могут быть доказаны. Первая формула, которую мы докажем, - формула косинуса разности. Из нее потом можно легко вывести остальные доказательства.

    Уточним основные понятия. Нам понадобится единичная окружность. Она получится, если мы возьмем некую точку A и повернем вокруг центра (точки O) углы α и β . Тогда угол между векторами O A 1 → и O A → 2 будет равняться (α - β) + 2 π · z или 2 π - (α - β) + 2 π · z (z – любое целое число). Получившиеся вектора образуют угол, который равен α - β или 2 π - (α - β) , или он может отличаться от этих значений на целое число полных оборотов. Взгляните на рисунок:

    Мы воспользовались формулами приведения и получили следующие результаты:

    cos ((α - β) + 2 π · z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π · z) = cos (α - β)

    Итог: косинус угла между векторами O A 1 → и O A 2 → равняется косинусу угла α - β , следовательно, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

    Вспомним определения синуса и косинуса: синус - функция угла, равная отношению катета противолежащего угла к гипотенузе, косинус – это синус дополнительного угла. Следовательно, точки A 1 и A 2 имеют координаты (cos α , sin α) и (cos β , sin β) .

    Получим следующее:

    O A 1 → = (cos α , sin α) и O A 2 → = (cos β , sin β)

    Если непонятно, взгляните на координаты точек, расположенных в начале и конце векторов.

    Длины векторов равны 1 , т.к. у нас единичная окружность.

    Разберем теперь скалярное произведение векторов O A 1 → и O A 2 → . В координатах оно выглядит так:

    (O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

    Из этого мы можем вывести равенство:

    cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

    Таким образом, формула косинуса разности доказана.

    Теперь мы докажем следующую формулу – косинуса суммы. Это проще, поскольку мы можем воспользоваться предыдущими расчетами. Возьмем представление α + β = α - (- β) . У нас есть:

    cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α · cos (- β) + sin α · sin (- β) = = cos α · cos β + sin α · sin β

    Это и есть доказательство формулы косинуса суммы. В последней строчке использовано свойство синуса и косинуса противоположных углов.

    Формулу синуса суммы можно вывести из формулы косинуса разности. Возьмем для этого формулу приведения:

    вида sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Так
    sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) · cos β + sin (π 2 - α) · sin β = = sin α · cos β + cos α · sin β

    А вот доказательство формулы синуса разности:

    sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α · cos (- β) + cos α · sin (- β) = = sin α · cos β - cos α · sin β
    Обратите внимание на использование свойств синуса и косинуса противоположных углов в последнем вычислении.

    Далее нам нужны доказательства формул сложения для тангенса и котангенса. Вспомним основные определения (тангенс – отношение синуса к косинусу, а котангенс –наоборот) и возьмем уже выведенные заранее формулы. У нас получилось:

    t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β - sin α · sin β

    У нас получилась сложная дробь. Далее нам нужно разделить ее числитель и знаменатель на cos α · cos β , учитывая что cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0 , получаем:
    sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

    Теперь сокращаем дроби и получаем формулу следующего вида: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β .
    У нас получилось t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Это и есть доказательство формулы сложения тангенса.

    Следующая формула, которую мы будем доказывать – формула тангенса разности. Все наглядно показано в вычислениях:

    t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α · t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

    Формулы для котангенса доказываются схожим образом:
    c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
    Далее:
    c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α · c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β

    – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля .

    А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

    Будем опираться на следующие формулы:

    Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

    1. Синус разности : sin (a-b) = sin a cos (-b) +cos a sin (-b) = sin a cos b -cos a sin b
    2. Косинус разности : cos (a-b) = cos a cos (-b) -sin a sin (-b) = cos a cos b +sin a sin b

    Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

    1. Синус двойного угла : sin 2a = sin (a+a) = sin a cos a +cos a sin a = 2sin a cos a
    2. Косинус двойного угла : cos 2a = cos (a+a) = cos a cos a -sin a sin a = cos 2 a -sin 2 a

    Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

    1. Синус тройного угла : sin 3a = sin (2a+a) = sin 2a cos a +cos 2a sin a = (2sin a cos a )cos a +(cos 2 a -sin 2 a )sin a = 2sin a cos 2 a +sin a cos 2 a -sin 3 a = 3sin a cos 2 a -sin 3 a = 3sin a (1-sin 2 a )-sin 3 a = 3sin a -4sin 3 a
    2. Косинус тройного угла : cos 3a = cos (2a+a) = cos 2a cos a -sin 2a sin a = (cos 2 a -sin 2 a )cos a -(2sin a cos a )sin a = cos 3 a-sin 2 a cos a -2sin 2 a cos a = cos 3 a-3sin 2 a cos a = cos 3 a-3(1-cos 2 a )cos a = 4cos 3 a-3cos a

    Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
    Дано: угол - острый.
    Найти его косинус, если
    Решение, данное одним учеником:
    Т.к. , то sin a = 3,а cos a = 4.
    (Из математического юмора)

    Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin 2 a +cos 2 a = 1 и разделим его на cos 2 a . Получим:

    Так что решением этой задачи будет:

    (Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)

    Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

    Сразу выводится и

    Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
    cos 2 a = cos 2 a -sin 2 a
    прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
    cos 2a +1 = cos 2 a -sin 2 a +cos 2 a +sin 2 a
    2cos 2 a = cos 2 a +1
    Выражая cos a через cos 2 a и выполняя замену переменных, получаем:

    Знак берётся в зависимости от квадранта.

    Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой - сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
    cos 2a -1 = cos 2 a -sin 2 a -cos 2 a -sin 2 a
    2sin 2 a = 1-cos 2 a

    И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sin a +sin b . Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
    sin a +sin b = sin (x+y)+sin (x-y) = sin xcos y+cos xsin y+sin xcos y-cos xsin y = 2sin xcos y. Выразим теперь x и y через a и b.

    Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому

    Сразу же можно вывести

    1. Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму : sin a cos b = 0.5(sin (a+b) +sin (a-b))

    Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.

    Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

    Геометрическое определение




    |BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
    α - угол, выраженный в радианах.

    Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .

    Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

    Тангенс

    Где n - целое.

    В западной литературе тангенс обозначается так:
    .
    ;
    ;
    .

    График функции тангенс, y = tg x


    Котангенс

    Где n - целое.

    В западной литературе котангенс обозначается так:
    .
    Также приняты следующие обозначения:
    ;
    ;
    .

    График функции котангенс, y = ctg x


    Свойства тангенса и котангенса

    Периодичность

    Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

    Четность

    Функции тангенс и котангенс - нечетные.

    Области определения и значений, возрастание, убывание

    Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

    y = tg x y = ctg x
    Область определения и непрерывность
    Область значений -∞ < y < +∞ -∞ < y < +∞
    Возрастание -
    Убывание -
    Экстремумы - -
    Нули, y = 0
    Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 -

    Формулы

    Выражения через синус и косинус

    ; ;
    ; ;
    ;

    Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности



    Остальные формулы легко получить, например

    Произведение тангенсов

    Формула суммы и разности тангенсов

    В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

    Выражения через комплексные числа

    Выражения через гиперболические функции

    ;
    ;

    Производные

    ; .


    .
    Производная n-го порядка по переменной x от функции :
    .
    Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >

    Интегралы

    Разложения в ряды

    Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.

    При .

    при .
    где B n - числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
    ;
    ;
    где .
    Либо по формуле Лапласа:


    Обратные функции

    Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.

    Арктангенс, arctg


    , где n - целое.

    Арккотангенс, arcctg


    , где n - целое.

    Использованная литература:
    И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
    Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

    Понятия синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенса () неразрывно связаны с понятием угла. Чтобы хорошо разобраться в этих, на первый взгляд, сложных понятиях (которые вызывают у многих школьников состояние ужаса), и убедиться, что «не так страшен черт, как его малюют», начнём с самого начала и разберёмся в понятии угла.

    Понятие угла: радиан, градус

    Давай посмотрим на рисунке. Вектор «повернулся» относительно точки на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол .

    Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

    Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

    Углом в (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную части окружности. Таким образом, вся окружность состоит из «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен.

    То есть на рисунке выше изображён угол, равный, то есть этот угол опирается на круговую дугу размером длины окружности.

    Углом в радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности. Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

    Итак, на рисунке изображён угол, равный радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина равна длине или радиус равен длине дуги). Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

    Где - центральный угол в радианах.

    Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью? Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

    Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен. То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что. Соответственно, . Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

    А сколько радиан составляют? Всё верно!

    Уловил? Тогда вперёд закреплять:

    Возникли трудности? Тогда смотри ответы :

    Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла

    Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла? Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

    Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона); катеты - это две оставшиеся стороны и (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла, то катет - это прилежащий катет, а катет - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

    Синус угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

    В нашем треугольнике.

    Косинус угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

    В нашем треугольнике.

    Тангенс угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

    В нашем треугольнике.

    Котангенс угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

    В нашем треугольнике.

    Эти определения необходимо запомнить ! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе . А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

    Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

    Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

    В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

    Рассмотрим, к примеру, косинус угла. По определению, из треугольника: , но ведь мы можем вычислить косинус угла и из треугольника: . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

    Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

    Для треугольника, изображённого ниже на рисунке, найдём.

    Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла.

    Единичная (тригонометрическая) окружность

    Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным. Такая окружность называется единичной . Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

    Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси (в нашем примере, это радиус).

    Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси и координата по оси. А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник. Он прямоугольный, так как является перпендикуляром к оси.

    Чему равен из треугольника? Всё верно. Кроме того, нам ведь известно, что - это радиус единичной окружности, а значит, . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

    А чему равен из треугольника? Ну конечно, ! Подставим значение радиуса в эту формулу и получим:

    Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка, принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что и - это просто числа? Какой координате соответствует? Ну, конечно, координате! А какой координате соответствует? Всё верно, координате! Таким образом, точка.

    А чему тогда равны и? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что, а.

    А что, если угол будет больше? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

    Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник: угол (как прилежащий к углу). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

    Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате; значение косинуса угла - координате; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

    Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора - вдоль положительного направления оси. До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке - отрицательные.

    Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет или. А можно повернуть радиус-вектор на или на? Ну конечно, можно! В первом случае, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении или.

    Во втором случае, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении или.

    Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на или (где - любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

    Ниже на рисунке изображён угол. Это же изображение соответствует углу и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой или (где - любое целое число)

    Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

    Вот тебе в помощь единичная окружность:

    Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

    Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в соответствует точка с координатами, следовательно:

    Не существует;

    Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в соответствуют точки с координатами, соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

    Ответы:

    Не существует

    Не существует

    Не существует

    Не существует

    Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

    Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

    А вот значения тригонометрических функций углов в и, приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить :

    Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений :

    Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (), а также значение тангенса угла в. Зная эти значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

    Зная это можно восстановить значения для. Числитель « » будет соответствовать, а знаменатель « » соответствует. Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего значения из таблицы.

    Координаты точки на окружности

    А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота ?

    Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки .

    Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

    Нам дано, что точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом точки на градусов.

    Как видно из рисунка, координате точки соответствует длина отрезка. Длина отрезка соответствует координате центра окружности, то есть равна. Длину отрезка можно выразить, используя определение косинуса:

    Тогда имеем, что для точки координата.

    По той же логике находим значение координаты y для точки. Таким образом,

    Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

    Координаты центра окружности,

    Радиус окружности,

    Угол поворота радиуса вектора.

    Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

    Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности?

    1. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.

    2. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.

    3. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки на.

    4. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.

    5. Точка - центр окружности. Радиус окружности равен. Необходимо найти координаты точки, полученной поворотом начального радиус-вектора на.

    Возникли проблемы в нахождении координот точки на окружности?

    Реши эти пять примеров (или разберись хорошо в решении) и ты научишься их находить!

    1.

    Можно заметить, что. А мы ведь знаем, что соответствует полному обороту начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на. Зная это, найдём искомые координаты точки:

    2. Окружность единичная с центром в точке, значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

    Можно заметить, что. Мы знаем, что соответствует двум полным оборотам начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на. Зная это, найдём искомые координаты точки:

    Синус и косинус - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

    Таким образом, искомая точка имеет координаты.

    3. Окружность единичная с центром в точке, значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

    Можно заметить, что. Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:

    Радиус образует с осью углы, равные и. Зная, что табличные значения косинуса и синуса равны, и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:

    Подробней подобные примеры разбираются при изучении формул приведения тригонометрических функций в теме .

    Таким образом, искомая точка имеет координаты.

    4.

    Угол поворота радиуса вектора (по условию,)

    Для определения соответствующих знаков синуса и косинуса построим единичную окружность и угол:

    Как можно заметить, значение, то есть положительно, а значение, то есть - отрицательно. Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:

    Подставим полученные значения в нашу формулу и найдём координаты:

    Таким образом, искомая точка имеет координаты.

    5. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде, где

    Координаты центра окружности (в нашем примере,

    Радиус окружности (по условию,)

    Угол поворота радиуса вектора (по условию,).

    Подставим все значения в формулу и получим:

    и - табличные значения. Вспоминаем и подставляем их в формулу:

    Таким образом, искомая точка имеет координаты.

    КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

    Синус угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

    Косинус угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

    Тангенс угла - это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

    Котангенс угла - это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).