Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина

Академия экономики и предпринимательства

Кафедра экономической теории и истории

по статистике на тему:

«Выдающиеся люди статистики. П.Л.Чебышев»

Подготовил: студент 201 гр.

Прилепская Алина

Проверил: Золотухина В.М.

Тамбов 2009 г.

1. Введение

2. Чебышев о задачах математики

4. Переезд в Петербург

5. Математический анализ

6. Теория механизмов

7. Конструирование механизмов

8. Работы по теории чисел

9. Работы по теории вероятностей

10. Литература

Пафнутий Львович Чебышев (14 (26) мая 1821, село Окатово Калужской губернии, ныне Калужской области - 26 ноября (8 декабря) 1894, Санкт-Петербург)

Российский математик и механик, член Петербургской академии наук (1856), основатель Петербургской математической школы. Член Берлинской АН (1871), Болонской АН (1873), Парижской АН (1874; член-корреспондент с 1860), Лондонского Королевского общества (1877), Шведской АН (1893) и почетный член многих русских и иностранных научных обществ, академий, университетов.

Чебышев о задачах математики

В научном творчестве П. Л. Чебышева практические работы были неразрывно связаны с высокой наукой и проистекали из философской установки, которую он с наибольшей полнотой сформулировал в докладе «Черчение географических карт» на торжественном акте 8 февраля 1856 в Петербургском университете: «Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание; в настоящее время они получили еще больше интерес по влиянию своему на искусства и промышленность. Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты, и не только одна практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследований или новые стороны в предметах, давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика обнаруживает ясно неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы существенно новые для науки и таким образом вызывает на изыскание совершенно новых методов. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий её, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике. Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется, недостает науке многих и различных методов. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической жизни человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?»

Детство, образование

Как было принято в дворянских семьях того времени, первоначальное образование П.Л.Чебышев получает дома. В возрасте шестнадцати лет поступает в Московский университет. Его работа «Вычисление корней уравнений», представленная на объявленную факультетом тему, удостаивается серебряной медали. В том же 1841 Чебышев заканчивает Московский университет, в котором в 1846 защищает магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей».

Переезд в Петербург

В 1847 после переезда в Петербург защищает в Петербургском университете диссертацию «Об интегрировании с помощью логарифмов» на право чтения лекций и после утверждения в звании доцента приступает к чтению лекций по алгебре и теории чисел. В 1849 защищает в Петербургском университете докторскую диссертацию «Теория сравнений», которая в том же году была удостоена Демидовской премии. С 1850 по 1882 - профессор Петербургского университета. После выхода в отставку Чебышев до конца жизни занимается научной работой.

Математический анализ

Наибольшее число работ Чебышева посвящено математическому анализу. В диссертации 1847 на право чтения лекций Чебышев исследует интегрируемость некоторых иррациональных выражений в алгебраических функциях и логарифмах. В работе 1853 «Об интегрировании дифференциальных биномов» Чебышев, в частности, доказывает свою знаменитую теорему об условиях интегрируемости дифференциального бинома в элементарных функциях. Интегрированию алгебраических функций посвящено несколько работ Чебышева.

Теория механизмов

Во время заграничной командировки в мае-октябре 1852 (во Францию, Англию и Германию) Чебышев знакомится с регулятором парового двигателя - параллелограммом Джеймса Уатта. В «Отчёте экстраординарного профессора С.-Петербургского университета Чебышева о путешествии за границу» об этом говорится следующее: «Из многих предметов исследования, которые представились мне при рассматривании и сличении между собой различных механизмов передачи движения, особенно в паровой машине, где и экономия в топливе, и прочность машины много зависят от способов передачи работы пара, я особенно занялся теориею механизмов, известных под названием параллелограммов.

Предположивши вывести правила для устройства параллелограммов прямо из свойств этого механизма, я встретил вопросы анализа, о которых до сих пор знал очень мало. Всё, что сделано в этом отношении,принадлежит члену Парижской академии г-ну Понселе, известному ученому в практической механике; формулами, им найденными, пользуются очень много при вычислении вредных сопротивлений машин. Для теории параллелограмма Уатта необходимы формулы более общие и приложение их не ограничивается исследованием этих механизмов.

В практической механике и других прикладных науках есть целый ряд вопросов, для решения которых они необходимы».

Для Чебышева, углубленно размышлявшего над проблемами математической теории параллелограммов, особый интерес представляли машины, изготовленные под непосредственным руководством Джеймса Уатта. Счастливый случай, которого Чебышев настойчиво искал, представился вскоре после прибытия в Англию. В «Отчёте» об этом рассказывается так: «По приезде в Лондон я обратился к двум известным английским геометрам Сильвестру и Кэли. Расположению этих ученых я обязан, с одной стороны, интересными беседами по различным отраслям математики, на что употреблял я вечера и воскресные дни, в продолжение которых все фабрики закрыты, а с другой стороны, случаем познакомиться с известным английским инженером-механиком Грегори. Узнавши о цели моего путешествия и в особенности о тех вопросах практической механики, решение которых составляло предмет моих занятий, он вызвался содействовать мне в отыскании на лондонских фабриках предметов, наиболее для меня необходимых. С этой целью он ездил со мною на различные фабрики, где полагал найти различные машины, устроенные самим Уаттом. Эти машины были особенно интересны для меня как данные о правилах, которым следовал Уатт при устройстве своих параллелограммов, правила, с которыми я должен был сравнивать результаты моих изысканий, упомянутых выше. К сожалению, оказалось, что одна из самых старинных машин Уатта, долго сохранявшаяся была, продана в лом; но г-н Грегори успел найти две машины, которые, как видно по патентам, были совсем недавно переделаны Уаттом и сохраняются теперь как достопамятность».

Результаты своих изысканий П.Л.Чебышев изложил в обширном мемуаре «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1854), заложив основы одного из наиболее важных разделов конструктивной теории функций - теории наилучшего приближения функций. Именно в этой работе П.Л.Чебышев ввел ортогональные многочлены, носящие ныне его имя. Помимо приближения алгебраическими многочленами, П.Л.Чебышев рассматривал приближение тригонометрическими многочленами и рациональными функциями.

Конструирование механизмов

Помимо параллелограмма Уатта, Чебышев интересовался и другими шарнирными механизмами, о чем свидетельствуют, например, такие его работы, как «О некотором видоизменении коленчатого параллелограмма Уатта» (1861), «О параллелограммах» (1869), «О параллелограммах, состоящих из трех каких-либо элементов» (1879) и др. Он сам занимался конструированием механизмов, построил знаменитую «стопоходящую машину», воспроизводящую движение животного при ходьбе, автоматический арифмометр, механизмы с остановками и множество других механизмов.

В работе «О построении географических карт» (1856 г.) Чебышев поставил задачу: найти такую картографическую проекцию страны, при которой в малых частях сохранялось бы подобие для того, чтобы наибольшее различие масштабов в окрестностях различных точек было минимальным.

Работы по теории чисел

В теории чисел Чебышев стал основоположником русской школы, славу которой составили работы его учеников Г.Ф.Вороного, Е.И.Золотарёва, А.Н.Коркина, А.А.Маркова. Чебышеву удалось получить важные результаты в решении проблемы распределения простых чисел - уточнить количество простых чисел, не превосходящих данное число x [«Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1849); «О простых числах» (1852)]. В работе «Об одном арифметическом вопросе» (1866) Чебышев рассмотрел вопрос о приближении чисел рациональными числами, сыгравшими важную роль в становлении теории диофантовых приближений.

Работы по теории вероятностей

Работы Чебышева по теории вероятностей [«Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (1845); «Элементарное доказательство одного общего положения теории вероятностей» (1846); «О средних величинах» (1867); «О двух теоремах относительно вероятностей» (1887)] ознаменовали важный этап в развитии теории вероятностей. П.Л.Чебышев стал систематически использовать случайные величины. Им доказаны неравенство, носящее ныне имя Чебышева, и - в весьма общей форме - закон больших чисел. В 1944 Академией наук учреждена премия имени П.Л.Чебышева

Источники:

Данилов Ю.А.- Чебышев // Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия-2004

Чебышев П.Л. Избранные математические труды. М. - Л., 1946

Прудников В.Е. -Пафнутий Львович Чебышев. Л., 1976

Прудников В. Е. -Пафнутий Львович Чебышев, 1821-1894. Л.: Наука, 1976.

Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894)

Пафнутий Львович Чебышев оставил неизгладимый след в истории мировой науки и в развитии русской культуры.

Многочисленные научные труды почти во всех областях математики и прикладной механики, труды, глубокие по содержанию и яркие по своеобразию методов исследования, создали П. Л. Чебышеву славу одного из величайших представителей математической мысли. Огромное богатство идей разбросано в этих работах, и, несмотря на то, что пятьдесят лет прошло со дня смерти их творца, они не потеряли ни своей свежести, ни актуальности, и их дальнейшее развитие продолжается в настоящее время во всех странах земного шара, где только бьётся пульс творческой математической мысли.

П. Л. Чебышев был доступен для всех, кто хотел научно работать и имел для этого данные; он щедро делился своими идеями. Благодаря этому он оставил после себя большое число учеников, ставших впоследствии первоклассными учёными; среди них А. М. Ляпунов и А. А. Марков, очерки о которых помещены в настоящей книге. От него идут истоки многих русских математических школ в теории вероятностей, теории чисел, теории приближения функций, теории механизмов, с успехом продолжающих работу и в наши дни.

Жизнь Пафнутия Львовича Чебышева небогата внешними событиями. Родился он 26 мая 1821 года в сельце Окатове, Боровского уезда, Калужской губернии. Первоначальное образование и воспитание он получил дома; грамоте его обучала мать Аграфена Ивановна, а арифметике и французскому языку - двоюродная сестра Сухарева, девушка весьма образованная и, повидимому, сыгравшая значительную роль в воспитании будущего математика. В 1832 г. семейство Чебышевых переехало в Москву для подготовки Пафнутия Львовича и его старшего брата к поступлению в университет. Шестнадцатилетним юношей он стал студентом Московского университета и уже через год за математическое сочинение на тему, предложенную факультетом, был награждён серебряной медалью. С 1840 г. материальное положение семьи Чебышевых пошатнулось, и Пафнутий Львович был вынужден жить на собственный заработок. Это обстоятельство наложило отпечаток на его характер, сделав его расчётливым и бережливым; впоследствии, когда он уже не испытывал недостатка в средствах, он не соблюдал экономии в их расходовании только при изготовлении моделей различных приборов и механизмов, идеи которых часто рождались в его голове. Двадцатилетним юношей П. Л. Чебышев окончил университет, а через два года опубликовал свою первую научную работу, за которой вскоре последовал ряд других, всё более и более значительных и быстро привлекших к себе внимание научного мира. Двадцати пяти лет П. Л. Чебышев защитил в Московском университете диссертацию на степень магистра, посвящённую теории вероятностей, а ещё через год был приглашён на кафедру Петербургского университета и переселился в Петербург. Здесь началась его профессорская деятельность, которой П. Л. Чебышев отдал много сил и которая продолжалась до достижения им преклонного возраста, когда он оставил лекции и отдался целиком научной работе, продолжавшейся буквально до последнего мгновения его жизни. В двадцать восемь лет он получил в Петербургском университете степень доктора, причём диссертацией служила его книга "Теория сравнений", которой затем в течение более полустолетия студенты пользовались как одним из самых глубоких и серьёзных руководств по теории чисел. Академия наук избрала тридцатидвухлетнего П. Л. Чебышева адъюнктом по кафедре прикладной математики; через шесть лет он уже стал ординарным академиком. Год спустя он был избран членом-корреспондентом Парижской Академии наук, а в 1874 г. та же академия избрала его своим иностранным сочленом.

8 декабря 1894 года утром Пафнутий Львович Чебышев умер, сидя за письменным столом. Накануне был его приёмный день и он сообщал ученикам планы своих работ и наводил их на мысли о темах для самостоятельного творчества.

К этой внешней канве жизни П. Л. Чебышева надо добавить оставленную современниками и учениками характеристику его как педагога и научного воспитателя. Тот вес, который приобрела в истории математики созданная им научная школа, уже показывает с максимальной объективностью, независимо от персональных отзывов, что П. Л. Чебышев умел зажигать научный энтузиазм своих учеников. Основной чертой этой школы, которую принято называть петербургской математической школой, было стремление тесно связать проблематику математики с принципиальными вопросами естествознания и техники. Раз в неделю у П. Л. Чебышева был приёмный день, когда двери его квартиры были открыты для каждого, кто хотел о чём-либо посоветоваться по поводу своих исследований. Редко кто уходил, не обогатившись новыми мыслями и новыми планами. Современники и, в частности, ученики П. Л. Чебышева говорят о том, что он охотно раскрывал богатство своего идейного мира не только в беседах с избранными, но и на своих лекциях для широкой аудитории. С этой целью он иногда прерывал ход изложения, чтобы осветить своим слушателям историю и методологическое значение того или иного факта или научного положения. Этим отступлениям он придавал существенное значение. Они бывали довольно длительными. Приступая к такой беседе, П. Л. Чебышев оставлял мел и доску и усаживался в особое кресло, стоявшее перед первым рядом слушателей. В остальном ученики характеризуют его как педантически точного и аккуратного лектора, никогда не пропускавшего, никогда не опаздывавшего и никогда не задерживавшего аудиторию ни на одну минуту долее положенного времени. Интересно отметить ещё характерную особенность его лекций: всякой сложной выкладке он предпосылал разъяснение её цели и хода в самых общих чертах, а затем проводил её молча, очень быстро, но настолько подробно, что следить за ним было легко.

На фоне этой размеренной, благополучной, не отмеченной никакими внешними потрясениями жизни, в тиши спокойного кабинета учёного совершались великие научные открытия, которым суждено было не только изменить и перестроить лицо русской математики, но и оказать огромное, в течение ряда поколений неизменно ощущающееся влияние на научное творчество многих выдающихся учёных и научных школ за рубежом. П. Л. Чебышев не был одним из тех учёных, которые, облюбовав какую-нибудь одну более или менее узкую ветвь своей науки, отдают ей всю свою жизнь, сперва создавая её основы, а потом тщательно дорабатывая и совершенствуя её детали. Он принадлежал к числу тех "кочующих" математиков, которых знает наука среди своих величайших творцов и которые видят своё призвание в том, чтобы, переходя от одной научной области к другой, в каждой из них оставить ряд блестящих основных идей или методов, разработку следствий или деталей которых они охотно предоставляют своим современникам и грядущим поколениям. Это не значит, конечно, что такой учёный ежегодно меняет область своих научных интересов и, опубликовав в выбранной им области одну-две статьи, навсегда её оставляет. Нет, мы знаем, что П. Л. Чебышев занимался, например, всю жизнь разработкой всё новых и новых задач своей знаменитой теории приближения функций, что к основным задачам теории вероятностей он обращался трижды - в начале, в середине и в самом конце своего творческого пути. Но характерным является то, что таких избранных областей у него было много (теория интеграции, приближение функций многочленами, теория чисел, теория вероятностей, теория механизмов и ряд других) и что в каждой из них его преимущественно привлекало создание основных, общих методов, расширение круга идей, а не логическое завершение путём тщательной отделки всех деталей. И почти невозможно указать такую область, где брошенные им семена не дали бы обильных и мощных всходов. Его идеи подхватывались и разрабатывались блестящей плеядой учеников, а затем становились достоянием и более широких научных кругов, в том числе и зарубежных, и везде с успехом вербовали себе последователей и продолжателей. Были среди этих идей и такие, всё методологическое значение которых не могло быть в достаточной мере осознано современниками и раскрывалось во всей полноте лишь в исследованиях последующих поколений учёных.

В качестве другой важнейшей особенности научного творчества П. Л. Чебышева нужно отметить его неизменный интерес к вопросам практики. Этот интерес был настолько велик, что, пожалуй, им в значительной мере определяется своеобразие П. Л. Чебышева как учёного. Без преувеличения можно сказать, что большая часть его лучших математических открытий навеяна прикладными работами, в частности его исследованиями по теории механизмов. Наличие этого влияния нередко подчёркивалось самим Чебышевым как в математических, так и в прикладных работах, но наиболее полно идея плодотворности связи теории с практикой была им высказана в статье "Черчение географических карт". Мы не станем пересказывать мысли великого учёного, а приведём его подлинные слова:

"Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием её, она открывает им новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трёх последних столетий, практика явно обнаруживает неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы, существенно новые для науки, и таким образом вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий её, то она ещё более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике". Среди огромного количества задач, которые ставит перед человеком его практическая деятельность, особенную важность имеет, по мнению П. Л. Чебышева, одна: "как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?" Именно поэтому "большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин, совершенно новым для науки, и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практик", которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного".

Приведённая цитата для П. Л. Чебышева являлась программой всей его научной деятельности, была руководящим принципом его творчества.

Многочисленные прикладные работы П. Л. Чебышева, носящие далеко не математические названия - "Об одном механизме", "О зубчатых колёсах", "О центробежном уравнителе", "О построении географических карт", "О кройке платьев" и многие другие, объединялись одной основной идеей - как располагать наличными средствами для достижения наибольшей выгоды? Так, в работе "О построении географических карт" он задаётся целью определить такую проекцию карты данной страны, для которой искажение масштаба было бы минимальным. В его руках эта задача получила исчерпывающее решение. Для Европейской России он довёл это решение до численных подсчётов и выяснил, что наивыгоднейшая проекция будет давать искажение масштаба не более 2%, тогда как принятые в то время проекции давали искажение не менее 4-5% (Часть очерка, касающаяся работ П. Л. Чебышева по теории механизмов и отмеченная в начале и конце звёздочками, принадлежит акад. И. И. Артоболевскому )).

Значительную долю своих усилий он потратил на конструирование (синтез) шарнирных механизмов и на создание их теории. Особенное внимание он уделял усовершенствованию параллелограмма Уатта - механизма, служащего для превращения кругового движения в прямолинейное. Дело заключалось в том, что этот основной для паровых двигателей и других машин механизм был весьма несовершенен и давал вместо прямолинейного движения криволинейное. Такая подмена одного движения другим вызывала вредные сопротивления, портившие и изнашивавшие машину. Семьдесят пять лет прошло со времени открытия Уатта; сам Уатт, его современники и последующие поколения инженеров пробовали бороться с этим дефектом, но, идя ощупью, путём проб, существенных результатов добиться не могли. П. Л. Чебышев взглянул на дело с новой точки зрения и поставил вопрос так: создать механизмы, в которых криволинейное движение возможно меньше отклонялось бы от прямолинейного, и определить при этом наивыгоднейшие размеры частей машины. С помощью специально разработанного им аппарата теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, он показал возможность решения задачи о приближённо-прямолинейном движении с любой степенью приближения к этому движению.

На основе разработанного им метода он дал ряд новых конструкций приближённо-направляющих механизмов. Некоторые из них до сих пор находят себе практическое применение в современных приборах.

Но интересы П. Л. Чебышева не ограничивались рассмотрением только теории приближённо-направляющих механизмов. Он занимался другими задачами, являющимися актуальными и для современного машиностроения.

Изучая траектории, описываемые отдельными точками звеньев шарнирно-рычажных механизмов, П. Л. Чебышев останавливается на траекториях, форма которых является симметричной. Изучая свойства этих симметричных траекторий (шатунных кривых), он показывает, что эти траектории могут быть использованы для воспроизведения многих важных для техники форм движения. В частности, он показывает, что можно шарнирными механизмами воспроизвести вращательное движение с различным направлением вращения около двух осей, причём указанные механизмы не будут ни параллелограммами, ни антипараллелограммами, обладающими некоторыми замечательными свойствами. Один из таких механизмов, получивший в дальнейшем название парадоксального, является до сих пор предметом удивления всех техников и специалистов. Передаточное отношение между ведущим и ведомым валами в этом механизме может меняться в зависимости от направления вращения ведущего вала.

П. Л. Чебышев создал ряд так называемых механизмов с остановками. В этих механизмах, широко применяемых в современном автоматостроении, ведомое звено совершает прерывистое движение, причём отношение времени покоя ведомого звена ко времени его движения должно изменяться в зависимости от технологических задач, поставленных перед механизмом. П. Л. Чебышев впервые даёт решение задачи о проектировании таких механизмов. Ему принадлежит приоритет в вопросе создания механизмов "выпрямителей движения", которые в самое последнее время получили применение в целом ряде конструкций современных приборов, и таких передач, как прогрессивные передачи типа Вазанта, Константинеску и другие.

Используя свои механизмы, П. Л. Чебышев построил знаменитую переступающую машину (стопоходящую машину), имитирующую своим движением движение животного; он построил так называемый гребной механизм, который имитирует движение вёсел лодки, самокатное кресло, дал оригинальную модель сортировальной машины и других механизмов. До сих пор мы с изумлением наблюдаем за движением этих механизмов и поражаемся богатой технической интуиция П. Л. Чебышева.

П. Л. Чебышеву принадлежит создание свыше 40 различных механизмов и около 80 их модификаций. В истории развития науки о машинах нельзя указать ни одного учёного, творчеству которого принадлежало бы столь значительное количество оригинальных механизмов.

Но П. Л. Чебышев решал не только задачи синтеза механизмов.

Он на много лет раньше других учёных выводит знаменитую структурную формулу плоских механизмов, которая только по недоразумению носит название формулы Грюблера - немецкого учёного, открывшего её на 14 лет позднее Чебышева.

П. Л. Чебышев, независимо от Робертса, доказывает знаменитую теорему о существовании трёхшарнирных четырёхзвенников, описывающих одну и ту же шатунную кривую, и широко использует эту теорему для целого ряда практических задач.

Научное наследство П. Л. Чебышева в области теории механизмов содержит такое богатство идей, которое рисует облик великого математика подлинным новатором техники.

Для истории математики особенно важно то, что конструирование механизмов и разработка их теории послужили П. Л. Чебышеву исходной точкой для создания нового раздела математики - теории наилучшего приближения функций многочленами. Здесь П. Л. Чебышев явился пионером в полном смысле этого слова, совершенно не имея предшественников. Это область, где он работал больше, чем в какой-либо другой, находя и решая всё новые и новые задачи и создав совокупностью своих исследований новую обширную ветвь математического анализа, продолжающую успешно развиваться и после его смерти. Первоначальная и простейшая постановка задачи имела началом исследование параллелограмма Уатта и заключалась в том, чтобы найти многочлен данной степени, который меньше, чем все остальные многочлены той же степени, уклонялся бы от нуля в некотором заданном промежутке изменения аргумента. Такие многочлены П. Л. Чебышевым были найдены и получили название "полиномов Чебышева". Они обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время служат одним из наиболее употребительных орудий исследования во многих вопросах математики, физики и техники.

Общая постановка задачи П. Л. Чебышева связана с основными проблемами приложения математических методов к естествознанию и технике. Известно, что понятие функциональной зависимости между переменными величинами является основным не только в математике, но и во всех естественных и технических науках. Вопрос о вычислений значений функции для каждого данного значения аргумента встаёт перед каждым, кто изучает связи между различными величинами, характеризующими тот или иной процесс, то или иное явление. Однако непосредственное вычисление значений функций может быть произведено лишь для очень узкого класса функций многочленов и частного двух многочленов. Поэтому уже давно возникла задача о замене вычисляемой функции близко к ней подходящим многочленом. Особенный интерес всегда возбуждала задача интерполяции, т. е. нахождение многочлена n-й степени, принимающего в точности те же значения, что и данная функция при n + 1 заданных значениях аргумента. Формулы, предложенные знаменитыми математиками Ньютоном, Лагранжем, Гауссом, Бесселем и другими, решают эту задачу, но обладают рядом недостатков. В частности, оказывается, что добавление одного или нескольких новых значений функции требует переделки всех вычислений заново, что ещё важнее, увеличение числа n, т. е. числа совпадающих значений функции и многочлена, не гарантирует неограниченного сближения их значений при всех значениях аргумента. Более того, оказывается, что существуют такие функции, для которых при неудачном выборе значений аргумента, при которых значения функции и многочлена совпадают, может даже получаться удаление многочлена от приближаемой функции.

П. Л. Чебышев не мог примириться с таким серьёзным недочётом в вопросе, играющем выдающуюся роль и для теории и для практики, и подошёл к нему со своей точки зрения. В его постановке задача интерполяции преобразилась так: среди всех многочленов данной степени найти тот, который даёт наименьшие абсолютные величины разностей значений функции и многочлена при всех значениях аргумента в заданном интервале его изменения. Эта постановка была чрезвычайно плодотворной и оказала исключительное влияние на работы последующих математиков. В настоящее время существует огромная литература, посвященная развитию идей П. Л. Чебышева, в то же время расширяется круг задач, в которых методы, разработанные П. Л. Чебышевым, приносят неоценимую пользу.

Мы остановимся на краткой характеристике достижений П. Л. Чебышева ещё только в двух областях - теорий чисел и теории вероятностей.

Трудно указать другое понятие, столь же тесно связанное с возникновением и развитием человеческой культуры, как понятие числа. Отнимите у человечества это понятие и посмотрите, насколько обеднеет от этого наша духовная жизнь и практическая деятельность: мы потеряем возможность производить расчёты, измерять время, сравнивать расстояния, подводить итоги результатам труда. Недаром древние греки приписывали легендарному Прометею, среди прочих его бессмертных деяний, изобретение числа. Важность понятия числа побуждала виднейших математиков и философов всех времён и народов пытаться проникнуть в тайны расположения простых чисел. Особенное значение уже в древней Греции получило исследование простых чисел, т. е. чисел, делящихся без остатка лишь на себя и на единицу. Все остальные числа являются, следовательно, произведениями простых чисел, и, значит, простые числа являются теми элементами, из которых образовано каждое целое число. Однако результаты в этой области получались с величайшим трудом. Древнегреческой математике, пожалуй, был известен только один общий результат о простых числах, известный теперь под названием теоремы Евклида. Согласно этой теореме, в ряду целых чисел имеется бесконечное множество простых. На вопросы же о том, как расположены эти числа, сколь правильно и как часто, греческая наука не имела ответа. Около двух тысяч лет, прошедших со времени Евклида, не принесли сдвигов в эти проблемы, хотя ими занимались многие математики и среди них такие корифеи математической мысли, как Эйлер и Гаусс. Эмпирические подсчёты, произведённые Лежандром и Гауссом, привели их к выводу, что в пределах известных им таблиц простых чисел число простых чисел среди всех первых n чисел приблизительно в In n раз меньше, чем число l. Это утверждение оставалось чисто эмпирическим фактом, установленным лишь для чисел в пределах миллиона. Переносить его на большие значения n не было никаких оснований, путей же для строгого доказательства не было видно. В 40-х годах прошлого века французский математик Бертран высказал о характере расположения простых чисел ещё одну гипотезу: между n и 2n, где n - любое целое число, большее единицы, обязательно находится по меньшей мере одно простое число. Долгое время эта гипотеза оставалась лишь эмпирическим фактом, для доказательства которого пути совершенно не чувствовалось.

Разбор научного наследства Эйлера пробудил интересы Чебышева к теории чисел и дал возможность проявиться здесь силе его математического таланта. Занявшись теорией чисел, П. Л. Чебышев совершенно элементарными методами установил ошибку в гипотезе Лежандра-Гаусса и исправил её.

Вскоре П. Л. Чебышев доказал предложение, из которого постулат Бертрана вытекал немедленно, как простое следствие, употребив при этом совершенно элементарный и исключительный по остроумию приём. Это был величайший триумф математической мысли. Крупнейшие математики того времени говорили, что для получения дальнейших сдвигов в вопросе распределения простых чисел требуется ум, настолько превосходящий ум Чебышева, насколько ум Чебышева превосходил ум обыкновенного человека. Мы не будем останавливаться на других результатах П. Л. Чебышева в теории чисел; уже сказанное в достаточной мере показывает, насколько мощен был его гений.

Мы перейдём теперь к тому разделу математической науки, в котором идеи и достижения П. Л Чебышева получили решающее значение для всего дальнейшего его развития и определили на многие десятилетия, вплоть до наших дней, направление наиболее актуальных в нём исследований. Этот раздел математики называется теорией вероятностей. К теории вероятностей тянутся нити буквально от всех областей знания. Эта наука занимается изучением случайных явлений, течение которых нельзя предсказать заранее и осуществление которых при совершенно одинаковых условиях может протекать совершенно различно, в зависимости от случая. Два основных закона этой науки - закон больших чисел и центральная предельная теорема - те два закона, вокруг которых до самого последнего времени группировались почти все исследования и которые продолжают составлять собою предмет усилий большого числа специалистов в наши дни. Оба эти закона в их современной трактовке ведут своё начало от П. Л. Чебышева.

Мы не станем останавливаться на предметном содержании этих законов. Созданный П. Л. Чебышевым знаменитый элементарный метод позволил ему доказать с изумительной лёгкостью закон больших чисел в столь широких предположениях, каких не могли осилить даже несравненно более сложные аналитические методы его предшественников. Для доказательства центральной предельной теоремы П. Л. Чебышев создал свой метод моментов, продолжающий играть значительную роль и в современном математическом анализе, но доказательства до конца он довести не успел; его завершил позднее ученик П. Л. Чебышева академик А. А. Марков. Пожалуй, ещё более важное значение, чем фактические результаты Чебышева, для теории вероятностей имеет то обстоятельство, что он возбудил интерес к ней своих учеников и создал школу своих последователей, а также то, что именно он впервые придал ей лицо настоящей математической науки. Дело в том, что в эпоху, когда П. Л. Чебышев начинал своё творчество, теория вероятностей как математическая дисциплина находилась в младенческом состоянии, не имея собственных достаточно общих задач и методов исследования. Именно П. Л. Чебышев впервые создал ей недостававший идейный и методологический стержень и научил своих современников и последователей относиться к ней с той же суровой требовательностью (в частности, ч в отношении логической строгости её выводов) и той же тщательной и серьёзной внимательностью и заботливостью, как во всякой другой математической дисциплине. Такое отношение, в настоящее время разделяемое всем научным миром и даже единственно мыслимое, было для прошлого столетия новым и необычайным, и зарубежный мир научился ему от русской научной школы, в которой оно со времени Чебышева стало незыблемой традицией.

Мировая наука знает немного имён учёных, творения которых в различных отраслях их науки оказали бы такое значительное влияние на ход её развития, как это было с открытиями П. Л. Чебышева. В частности, подавляющее большинство советских математиков до сих пор благотворно ощущает на себе влияние П. Л. Чебышева, доходящее до них через посредство созданных им научных традиций. Все они с глубоким уважением и тёплой признательностью чтут светлую память своего великого соотечественника.

Главнейшие труды П. Л. Чебышева: Опыт элементарного анализа теории вероятностей. Сочинение, написанное для получения степени магистра, М., 1845; Теория сравнений (Докторская диссертация), Спб., 1849 (3 изд., 1901); Сочинения, Спб., 1899 (т. I), 1907 (т. II), приложен биографический очерк, написанный К. А. Поссе. Полное собрание сочинений, т.1 - Теория чисел, М. - Л., 1944; Избранные математические труды (Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины; О простых числах; Об интегрировании иррациональных дифференциалов; Черчение географических карт; Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближённым представлением функций; О квадратурах; О предельных величинах интегралов; О приближённых выражениях квадратного корня переменной через простые дроби; О двух теоремах относительно вероятностей), М. - Л., 1946.

О П. Л. Чебышеве: Ляпунов А. М., Пафнутий Львович Чебышев, "Сообщения Харьковского матем. общества", серия II, 1895, т. IV, №5-6: Стеклов В. А., Теория и практика в исследованиях Чебышева. Речь, произнесённая на торжественном чествовании столетия со дня рождения Чебышева Российской Академией наук. Петроград, 1921; Бернштейн С. Н., 0 математических работах П. Л. Чебышева, "Природа", Л., 1935, №2; Крылов А, Н., Пафнутий Львович Чебышев, Биографический очерк, М. - Л., 1944.

Сим-мет-рич-ной от-но-си-тель-но пря-мой, про-хо-дя-щей через за-креп-лён-ный крас-ный шар-нир. Мож-но по-ка-зать, что в та-ком слу-чае тра-ек-то-рия си-не-го шар-ни-ра бу-дет так-же сим-мет-рич-на от-но-си-тель-но неко-то-рой пря-мой, про-хо-дя-щей через непо-движ-ный шар-нир. Рос-сий-ский ма-те-ма-тик Па-ф-ну-тий Льво-вич Че-бы-шев ис-сле-до-вал во-прос, ка-ко-ва же мо-жет быть эта тра-ек-то-рия.

Важ-ным част-ным слу-ча-ем се-рой тра-ек-то-рии яв-ля-ет-ся окруж-ность . На прак-ти-ке он ре-а-ли-зу-ет-ся до-бав-ле-ни-ем од-но-го непо-движ-но-го (крас-но-го) шар-ни-ра и ве-ду-ще-го зве-на неко-то-рой дли-ны.

Для си-ней же тра-ек-то-рии дву-мя важ-ны-ми слу-ча-я-ми яв-ля-ет-ся схо-жесть её ли-бо с от-рез-ком пря-мой, ли-бо с окруж-но-стью или её ду-гой. Че-бы-шев пи-шет: «Здесь мы зай-мём-ся рас-смот-ре-ни-ем слу-ча-ев, наи-бо-лее про-стых и на-и-ча-ще пред-став-ля-ю-щих-ся на прак-ти-ке, а имен-но ко-гда име-ет-ся в ви-ду по-лу-чить дви-же-ние по кри-вой, ко-то-рой неко-то-рая часть, бо-лее или ме-нее зна-чи-тель-ная, ма-ло раз-нит-ся от ду-ги кру-га или от пря-мой ли-нии».

Имен-но к вы-яв-ле-нию наи-луч-ших па-ра-мет-ров это-го ме-ха-низ-ма, ре-ша-ю-ще-го пе-ре-чис-лен-ные за-да-чи, Па-ф-ну-тий Льво-вич впер-вые сам при-ме-ня-ет тео-рию при-бли-же-ния функ-ций, раз-ра-бо-тан-ную им неза-дол-го до это-го при изу-че-нии па-рал-ле-ло-грам-ма Уат-та.

Под-би-рая рас-сто-я-ние меж-ду за-креп-лён-ны-ми шар-ни-ра-ми, дли-ну ве-ду-ще-го зве-на, а так-же угол меж-ду зве-нья-ми, Па-ф-ну-тий Льво-вич по-лу-ча-ет за-мкну-тую тра-ек-то-рию, ма-ло укло-ня-ю-щу-ю-ся от пря-мо-ли-ней-но-го от-рез-ка . Укло-не-ние си-ней тра-ек-то-рии от пря-мо-ли-ней-ной мож-но умень-шать, из-ме-не-няя па-ра-мет-ры ме-ха-низ-ма. Од-на-ко при этом бу-дет умень-шать-ся и дли-на хо-да си-не-го шар-ни-ра. Но это про-ис-хо-дит мед-лен-нее, чем умень-ше-ние от-кло-не-ния от пря-мой, по-это-му для прак-ти-че-ских за-дач мож-но по-до-брать удо-вле-тво-ри-тель-ные па-ра-мет-ры. Это один из ва-ри-ан-тов при-бли-жён-но-го пря-ми-ла, пред-ло-жен-но-го Че-бы-ше-вым.

Пе-рей-дём к слу-чаю схо-же-сти си-ней кри-вой с окруж-но-стью.

Рас-смат-ри-вая слу-чай, ко-гда зве-нья со-став-ля-ют пря-мую, при-хо-дим к ме-ха-низ-му, по-хо-же-му на гре-че-скую бук-ву «лямб-да». С неко-то-ры-ми па-ра-мет-ра-ми Че-бы-шев ис-поль-зо-вал его для по-стро-е-ния пер-вой в ми-ре «сто-по-хо-дя-щей ма-ши-ны» . При этом си-няя кри-вая бы-ла по-хо-жа на шляп-ку бе-ло-го гри-ба. Под-би-рая па-ра-мет-ры лямб-да-ме-ха-низ-ма по-дру-го-му, мож-но по-лу-чить тра-ек-то-рию, по-оче-рёд-но ка-са-ю-щу-ю-ся двух кон-цен-три-че-ских окруж-но-стей и оста-ю-щу-ю-ся всё вре-мя меж-ду ни-ми. Из-ме-няя па-ра-мет-ры ме-ха-низ-ма, мож-но умень-шать рас-сто-я-ние меж-ду кон-цен-три-че-ски-ми окруж-но-стя-ми, внут-ри ко-то-рых рас-по-ло-же-на си-няя тра-ек-то-рия.

До-стро-им лямб-да-ме-ха-низм, до-ба-вив непо-движ-ный шар-нир и два зве-на, сум-ма длин ко-то-рых рав-на ра-ди-у-су боль-шей окруж-но-сти, а раз-ность - ра-ди-у-су мень-шей.

По-лу-чив-ше-е-ся устрой-ство име-ет точ-ки би-фур-ка-ции или, как ещё го-во-рят, син-гу-ляр-ные или осо-бые точ-ки. На-хо-дясь в та-кой точ-ке, при од-ном и том же дви-же-нии лямб-да-ме-ха-низ-ма по ча-со-вой стрел-ке до-бав-лен-ные зве-нья мо-гут на-чать вра-щать-ся ли-бо по ча-со-вой стрел-ке, ли-бо про-тив. Та-ких то-чек би-фур-ка-ции в на-шем ме-ха-низ-ме шесть - ко-гда до-бав-лен-ные зве-нья на-хо-дят-ся на од-ной пря-мой.

Су-ще-ству-ет боль-шое и важ-ное на-прав-ле-ние в ма-те-ма-ти-ке - тео-рия осо-бен-но-стей - ис-сле-до-ва-ние пред-ме-та через изу-че-ние его осо-бых то-чек. Очень про-стым част-ным слу-ча-ем яв-ля-ет-ся изу-че-ние по-ве-де-ния функ-ции через ис-сле-до-ва-ние то-чек её мак-си-му-ма и ми-ни-му-ма.

Чтобы наш ме-ха-низм про-хо-дил все шесть осо-бых то-чек в од-ном на-пе-рёд вы-бран-ном на-прав-ле-нии, ма-лень-кое зве-но свя-зы-ва-ют с ма-хо-ви-ком, ко-то-рое, бу-дучи рас-кру-чен-ным в ка-кую-то сто-ро-ну, вы-во-дит ме-ха-низм из осо-бой точ-ки, вра-ща-ю-щим-ся в ту же сто-ро-ну.

Ес-ли из точ-ки би-фур-ка-ции рас-кру-тить ма-хо-вик так же как и ве-ду-щее зве-но, по ча-со-вой стрел-ке, то за один обо-рот ве-ду-ще-го зве-на ма-хо-вик сде-ла-ет два обо-ро-та .

Ес-ли же из осо-бой точ-ки при-дать ма-хо-ви-ку дви-же-ние про-тив ча-со-вой стрел-ки, то за один обо-рот ве-ду-ще-го зве-на по ча-со-вой стрел-ке ма-хо-вик сде-ла-ет це-лых че-ты-ре обо-ро-та !

В этом и за-клю-ча-ет-ся па-ра-док-саль-ность это-го ме-ха-низ-ма, при-ду-ман-но-го и сде-лан-но-го Па-ф-ну-ти-ем Льво-ви-чем Че-бы-ше-вым. Ка-за-лось бы, плос-кий шар-нир-ный ме-ха-низм дол-жен ра-бо-тать од-но-знач-но, од-на-ко, как ви-дим, это не все-гда так. И при-чи-ной яв-ля-ют-ся осо-бые точ-ки.

Математик, механик.

Родился 16 мая 1821 года в небольшом селе Окатово Боровского уезда Калужской губернии.

Начальное образование получил в семье.

Грамоте Чебышева обучала мать, а французскому языку и арифметике двоюродная сестра, женщина образованная, сыгравшая большую роль в жизни ученого. Портрет ее висел в доме Чебышева до самой кончины ученого.

В 1832 году семья Чебышевых переехала в Москву.

С детства Чебышев прихрамывал, часто пользовался тростью. Этот физический недостаток помешал ему стать офицером, чего он некоторое время очень хотел. Может быть, благодаря хромоте Чебышева мировая наука получила выдающегося математика.

В 1837 году Чебышев поступил в Московский университет.

О военных училищах в университете напоминала лишь форма, которую студенты обязаны были носить, да строгий инспектор П. С. Нахимов, брат знаменитого адмирала. Встречая студента в расстегнутом не по форме мундире, инспектор кричал: «Студент, застегнись!» И на все оправдания говорил одно: «Вы думали? Нечего думать! Что у вас за привычка все думать! Я сорок лет служу и никогда ни о чем не думал, что прикажут, то и делал. Думают только гуси, да индейские петухи. Сказано – делай!»

Жил Чебышев в доме родителей на полном обеспечении. Это дало ему возможность полностью отдаться математике. Уже на второй год обучения он получил серебряную медаль за сочинение «Вычисление корней уравнения».

В 1841 году Россию постиг голод.

Материальное положение Чебышевых резко ухудшилось.

Родители Чебышева вынуждены были переехать на жительство в деревню и не могли теперь материально обеспечивать сына. Тем не менее, Чебышев не бросил учебу. Он просто сделался расчетливым и экономным, что сохранилось в нем на всю жизнь, иногда изрядно удивляя окружающих. Известно, что в поздние годы, уже имея немалый доход по должности академика и профессора, а также от публикации своих трудов, Чебышев большую часть зарабатываемых денег употреблял на покупку земель. Этими операциями занимался его управляющий, затем выгодно перепродававший скупленные земли. Видимо, не зря Чебышев утверждал, что, может быть, главным вопросом, который человек должен ставить перед наукой, должен быть такой: «Как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?»

В 1841 году Чебышев окончил университет.

Научную деятельность он начал (совместно с В. Я. Буняковским), с подготовки к изданию трудов российского академика Леонарда Эйлера, посвященных теории чисел. С этого же времени начали выходить его собственные работы, посвященные различным проблемам математики.

В 1846 году Чебышев защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». Целью диссертации, как писал он сам, было «…показать без посредства трансцендентного анализа основные теоремы исчисления вероятностей и главные приложения их, служащие опорою всем знаниям, основанным на наблюдениях и свидетельствах».

В 1847 году Чебышев был приглашен в Петербургский университет на должность адъюнкта. Там он защитил докторскую диссертацию «Теория сравнений». Изданная отдельной книгой, эта работа Чебышева была удостоена Демидовской премии. «Теорией сравнений» студенты пользовались как ценным пособием почти пятьдесят лет.

Вопросу о распределении простых чисел в натуральном ряду была посвящена известная работа Чебышева «Теория чисел» (1849) и не менее известная статья «О простых числах» (1852).

«Трудно указать другое понятие, столь же тесно связанное с возникновением и развитием человеческой культуры, как понятие числа, – писал один из биографов Чебышева. – Отнимите у человечества это понятие и посмотрите, насколько беднее от этого наша духовная жизнь и практическая деятельность: мы потеряем возможность производит расчеты, измерять время, сравнивать расстояния, подводить итоги результатам труда. Недаром древние греки приписывали легендарному Прометею, среди прочих его бессмертных деяний, изобретение числа. Важность понятия числа побуждала виднейших математиков и философов всех времен и народов пытаться проникнуть в тайны расположения простых чисел. Особенное значение уже в древней Греции получило исследование простых чисел, то есть чисел, делящихся без остатка лишь на себя и на единицу. Все остальные числа являются теми элементами, из которых образовано каждое целое число. Однако результаты в этой области получались с величайшим трудом. Древнегреческой математике, пожалуй, был известен только один общий результат о простых числах, известный теперь под названием теоремы Евклида. Согласно этой теореме, в ряду чисел имеется бесконечное множество простых. На вопросы же о том, как расположены эти числа, сколь правильно и как часто, греческая наука не имела ответа. Около двух тысяч лет, прошедших со времен Евклида, не принесли сдвигов в эти проблемы, хотя ими занимались многие математики и среди них такие корифеи математической мысли, как Эйлер и Гаусс… В сороковых годах XIX века французский математик Бертран высказал о характере расположения простых чисел еще одну гипотезу: между n и 2n , где n – любое целое число, большее единицы, обязательно находится по меньшей мере одно простое число. Долгое время эта гипотеза оставалась лишь эмпирическим фактом, для доказательства которого пути совершенно не чувствовались…»

Обратившись к теории чисел, Чебышев быстро установил ошибку в известной гипотезе Лежандра-Гаусса, и, употребив остроумный прием, доказал собственное предложение, из которого постулат Бертрана вытекал немедленно, как простое следствие.

Эта работа Чебышева произвела на математиков чрезвычайное впечатление. Один из них вполне всерьез утверждал, что для получения новых результатов в вопросе распределения простых чисел потребуется ум, наверное, настолько же превосходящий ум Чебышева, насколько ум Чебышева превосходил ум обыкновенного человека.

Теория чисел стала одним из важных направлений знаменитой математической школы, основанной Чебышевым. Немалый вклад в нее внесли ученики и последователи Чебышева – известные математики Е. И. Золоторев, А. Н. Коркин, А. М. Ляпунов, Г. Ф. Вороной, Д. А. Граве, К. А. Поссе, А. А. Марков и другие.

Всемирное признание получили работы Чебышева по анализу теории чисел, теории вероятностей, теории приближения функций многочленами, интегральному исчислению, теории синтеза механизмов, аналитической геометрии и другим областям математики.

В каждой из указанных областей Чебышев сумел создать ряд основных, общих методов и выдвинуть глубокие идеи.

«В середине 50-х, – вспоминал профессор К. А. Поссе, – Чебышев переехал на жительство в Академию наук, сперва в дом, выходящий на 7-ю линию Васильевского острова, затем в другой дом Академии, против университета, и наконец снова в дом на 7-й линии, в большую квартиру. Ни перемена обстановки, ни возрастание материальных средств не повлияли на образ жизни Чебышева. У себя дома он гостей не собирал; посетителями его были люди, приходившие к нему беседовать о вопросах ученого характера или по делам Академии и Университета. Чебышев постоянно сидел дома и занимался математикой…»

Задолго до физиков XX века, сделавших подобные семинары основным полем отработки новых идей, Чебышев начал заниматься с учениками в неформальной обстановке. При этом Чебышев никогда не ограничивался только узкими темами. Отложив в сторону мел, он отходил от доски, садился в особое кресло, предназначенное только для него, и с удовольствием погружался в обсуждение любого отвлечения, интересного для него и для его оппонентов. Во всем остальном он оставался суховатым, даже педантичным человеком. Кстати он очень не одобрял увлечения чтением текущей математической литературы. Он считал, возможно, не без оснований, что такое чтение неблагоприятно отражается на оригинальности собственных работ.

В 1859 году Чебышева избрали ординарным академиком.

Ведя огромную работу в Академии, Чебышев читал в университете аналитическую геометрию, теорию чисел, высшую алгебру. С 1856 по 1872 год, параллельно основным занятиям, он работал еще в Ученом комитете Министерства народного просвещения.

Очень многого Чебышев добился в области теории вероятностей.

Теория вероятностей связана со всеми областями человеческих знаний.

Эта наука занимается изучением случайных явлений, течение которых нельзя предсказать заранее и осуществление которых при совершенно одинаковых условиях может протекать совершенно различно, действительно, в зависимости от случая. Изучая применение закона больших чисел, Чебышев ввел в науку понятие «математического ожидания». Именно Чебышев впервые доказал закон больших чисел для последовательностей и дал так называемую центральную предельную теорему теории вероятностей. Эти исследования до сих пор являются не только важнейшими составляющими теории вероятностей, но и принципиальной основой всех ее приложений в естественных, экономических и технических дисциплинах. Чебышеву же принадлежит заслуга систематического введения в рассмотрение случайных величин и создание нового приема доказательств предельных теорем теории вероятностей – так называемого метода моментов.

Занимаясь сложными проблемами математики, Чебышев всегда испытывал интерес к решению практических вопросов.

«Сближение теории с практикой, – писал он в статье „О построении географических карт“, – дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее. Она открывает им новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика явно обнаруживает неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы, существенно новые для науки, и таким образом вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от нового развития ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике…»

К чисто практическим относятся такие работы Чебышева, как – «Об одном механизме», «О зубчатых колесах», «О центробежном уравнителе», «О построении географических карт», и даже такая, совсем уж неожиданная, прочитанная им 28 августа 1878 года на заседании Французской ассоциации развития науки, – «О кройке платьев».

В «Докладах» Ассоциации об этом сообщении Чебышева сказано было следующее:

«…Указав, что идея этого доклада возникла у него после сообщения о геометрии тканья материи, которое сделал г. Люка два года назад в Клермон-Ферране, г. Чебышев устанавливает общие принципы для определения кривых, следуя которым должны кроить различные куски материи для того, чтобы сделать из них плотно облегающую оболочку, назначение которой покрыть предмет какой-либо формы. Приняв за исходную точку тот принцип наблюдения, что изменение ткани должно замечаться сначала в первом приближении, как изменение углов наклона нитей основы и нитей утка, в то время как длина нитей остается та же, он дает формулы, которые позволяют определить контуры двух, трех или четырех кусков материи, назначенных для покрытия поверхности сферы с наиболее желаемым приближением. Г. Чебышев представил в секцию резиновый мяч, покрытый материей, два куска которой были скроены согласно его указаниям; он заметил, что проблема существенно изменится, если вместо материи взять кожу. Формулы, предложенные г. Чебышевым, дают также метод для плотной пригонки частей при шитье. Резиновый мяч, покрытый материей, ходил по рукам присутствующих, которые рассматривали и проверяли его с большим интересом и оживлением. Это хорошо сделанный мяч, хорошо скроенный, и члены секции даже испытывали его в игре в лапту на лицейском дворе».

Немало времени отдал Чебышев теории различных механизмов и машин.

Он внес предложения по усовершенствованию паровой машины Дж. Уатта, что подтолкнуло его к созданию новой теории максимумов и минимумов. В 1852 году, побывав в Лилле, Чебышев осмотрел знаменитые ветряные мельницы этого города и вычислил самую выгодную форму мельничных крыльев. Он построил модель знаменитой стопоходящей машины, имитирующей походку животных, построил специальный гребной механизм и самокатное кресло, наконец, он создал арифмометр – первую счетную машину непрерывного действия.

К сожалению, большинство указанных приборов и механизмов так и остались невостребованными, а свой арифмометр Чебышев подарил Парижскому музею искусств и ремесел.

В 1893 году газета «Всемирная иллюстрация» писала:

«Уже много лет подряд в публике, не посвященной во все таинства механики и математики, ходили смутные слухи о том, что наш маститый математик, академик П. Л. Чебышев, изобрел перпетуум мобиле, т. е. осуществил заветную мечту, с которою носятся чуть не тысячу лет фантазеры, подобно тому, как некогда алхимики носились со своим философским камнем и эликсиром вечной жизни, а математики – с квадратурой круга, делением угла на три части и т. п. Другие утверждали, что г. Чебышевым построен какой-то деревянный „человек“, который будто бы сам ходит. Основою всех этих россказней служили нисколько не фантастические труды почтенного ученого над разработкою возможных упрощенных двигателей из коленчатых рычагов, каковые двигатели и были им своевременно построены и применимы к разным снарядам: креслу-самокату, сортировке для зерна, к небольшой лодочке. Все эти изобретения г. Чебышева в настоящее время посетители обозревают на всемирной выставке в Чикаго…»

Занявшись разработкой наиболее выгодной формы продолговатых снарядов для гладкоствольных орудий, Чебышев очень скоро пришел к заключению о необходимости перехода артиллерии к нарезным стволам, что существенно увеличивает точность стрельбы, ее дальнобойность и эффективность.

Современники называли Чебышева «кочующим математиком».

Имелось в виду то, что он был одним из тех ученых, которые видят свое призвание, прежде всего, в том, чтобы, переходя из одной области науки в другую, в каждой оставить ряд блестящих идей или методов, долго еще воздействующих на воображение исследователей. Оригинальные идеи Чебышева моментально подхватывались его многочисленными учениками, становясь достоянием всего научного мира.

В июне 1872 года в Петербургском университете отметили двадцать пять лет профессорской деятельности Чебышева.

По правилам, действующим в то время, профессор, прослуживший двадцать пять лет, освобождался от занимаемой должности. Но на этот раз Совет университета возбудил перед Министерством народного образования ходатайство, с тем, чтобы срок профессуры Чебышева был продлен на пять лет.

«Громкое имя ученого, о котором мне приходится говорить, – писал в служебной записке профессор А. Н. Коркин, – заставляет меня быть в настоящем случае весьма кратким. Всеобщая известность, которую себе приобрел Пафнутий Львович, делает излишними перечисление и разбор многочисленных его трудов; они не нуждаются в критике; достаточно сказать, что, считаясь классическими, они сделались необходимым предметом всякого математика и что открытия его в науке вошли в курсы наравне с исследованиями других знаменитых геометров.

Всеобщее уважение, которым пользуются труды Пафнутия Львовича, выразилось избранием его в члены многих академий и ученых обществ. Известно, что он состоит действительным членом здешней академии, членом-корреспондентом Парижской и Берлинской академий, Парижского филоматического общества, Лондонского математического общества, Московского математического и технического общества и др.

Чтобы дать понятие о высоком мнении, которое составилось о Чебышеве в ученом мире, я укажу на отчет об успехах математики во Франции за последнее время, представленный акад. Бертраном министру народного просвещения по поводу Парижской всемирной выставки в 1867 г. Здесь, оценивая работы французских математиков, Бертран счел нужным упомянуть о тех иностранных геометрах, исследования которых имели особенно важное влияние на ход науки и находились в ближайшей связи с разбираемыми им работами. Из иностранцев упомянуто было только трое. Имя Чебышева поставлено наряду с именем гениального Гаусса.

Своеобразным выбором вопросов и оригинальностью методов их решения Чебышев резко отделяется от других геометров. Одни из его исследований имеют предметом решение некоторых вопросов, трудность которых останавливала знаменитейших европейских ученых; другими он открывал пути в новые обширные области анализа, до него незатронутые, дальнейшая разработка которых принадлежит будущему. В этих исследованиях Чебышева русская наука получает свой особенный, оригинальный характер; следить в направлении, им созданном, есть задача русских математиков, и в особенности многочисленных его учеников, которых он образовал в течение 25-летней профессорской деятельности. Многие из них занимают кафедры в различных университетах по различным отделам точных наук. В одном нашем университете преподают шесть учеников Чебышева: трое математиков и трое физиков.

Петербургский университет, несмотря на свое сравнительно короткое существование, считает известнейших ученых между своими деятелями; в Чебышеве он имеет геометра первоклассного, имя которого навсегда будет соединено с его славой».

В итоге указанных хлопот Чебышев окончательно вышел в отставку только в 1882 году.

В 1890 году президент Франции вручил Чебышеву орден Почетного легиона.

По этому поводу математик Ш. Эрмит писал Чебышеву:

«Мой дорогой собрат и друг!

Я позволил себе большую вольность в отношении вас, взяв на себя смелость, как Президент Академии наук, обратиться к Министру иностранных дел с просьбой ходатайствовать о награждении вас орденом: Командорским крестом Почетного легиона, который и был вам пожалован президентом Республики. Это отличие является лишь небольшой наградой за великие и прекрасные открытия, с которыми навсегда связано ваше имя и которые давно уже выдвинули вас в первые ряды математической науки нашей эпохи…

Все члены Академии, которым было представлено возбужденное мною ходатайство, поддержали его своей подписью и воспользовались случаем засвидетельствовать ту горячую симпатию, которую вы им внушаете. Все они присоединились ко мне, заверяя, что вы являетесь гордостью науки в России, одним из первых геометров Европы, одним из величайших геометров всех времен…

Могу ли я надеяться, мой дорогой собрат и друг, что этот знак уважения, идущий к вам из Франции, доставит вам некоторое удовольствие?

По меньшей мере прошу вас не сомневаться в моей верности воспоминаниям о нашей научной близости и в том, что я не забыл и никогда не забуду наших бесед во время вашего пребывания в Париже, когда мы говорили о столь многих предметах, далеких от Евклида…»

Какими-то чертами своего характера Чебышев часто поражал окружающих.

«…Расскажу об одном наблюдении, сделанном моим братом, – вспоминала О. Э. Озаровская. – Он проводил лето в 1893 году в Ревеле. Окно его комнаты выходило на плоскую крышу соседнего дома, которая служила как бы верандой для одной мансарды. В ней проводил целые дни в хорошую погоду обитатель мансарды, лысый и бородатый старичок, исписывавший листы бумаги.

С любопытством, какое бывает у молодого человека, заброшенного случайно в чужой город, с порцией досуга и скуки, подготовивших это любопытство, брат мой пригляделся к писаниям старичка и по движениям пера угадал непрерывные очертания интегралов. Математик писал целые дни. Брат мой свыкся с ним и в течение дня задавал себе вопросы и разгадывал их: математик, верно, спит после обеда, математик гуляет, сколько исписал сегодня листов и т. д.

Но вот солнце стало чересчур пригревать почтенную лысину, и старичок вместо писания однажды занялся сшиванием шести простынь. После обеда брат мой зашел в щеточный магазин и столкнулся со старичком, покупавшим себе шесть прекрасных половых щеток. Брат мой в высокой степени заинтересовался: зачем математику понадобились щетки в таком количестве?

На следующее утро, проснувшись, брат увидел старичка, работавшего в тени под белым тентом. Тент был укреплен на шести желтых палках, а сами щетки валялись тут же под скамьей.

Этот старичок оказался не кто иной, как великий математик Пафнутий Львович Чебышев».

Он набрасывал план работы с учениками, каждую неделю посещавшими его дом.

Чебышев родился в деревне Окатово, Боровского уезда, Калужской губернии в семье богатого землевладельца Льва Павловича. Первоначальное воспитание и образование получил дома, грамоте его обучила мать Аграфена Ивановна, арифметике и французскому языку - двоюродная сестра Авдотья Квинтильановна Сухарёва. Кроме того, с детства Пафнутий Львович занимался музыкой.

В 1832 году семья переезжает в Москву, чтобы продолжить образование взрослеющих детей. В Москве с Пафнутием Львовичем математикой и физикой занимается П. Н. Погоревский, один из лучших учителей Москвы, у которого в том числе учился Иван Тургенев.

Летом 1837 года Чебышев начинает изучение математики в Московском университете на втором физико-математическом отделении философского факультета. Одним из учителей, которые наболее повлияли на него в дальнейшем, был Николай Брашман, который познакомил его с работами французского инженера Жана-Виктора Понселе.

В 1838 году, участвуя в студенческом конкурсе, получил серебряную медаль за работу по нахождению корней уравнения n-ной степени. Оригинальная работа была закончена уже в 1838 году и сделана на основе алгоритма Ньютона. За работу Чебышев был отмечен как самый перспективный студент.

В 1841 году в России случился голод, и семья Чебышева не могла больше его поддерживать. Однако Пафнутий Львович был полон решимости продолжить свои занятия. Он успешно заканчивает университет и защищает диссертацию.

В 1847 году Чебышев утверждён в звании доцента и начинает читать лекции по алгебре и теории чисел в Петербургском университете.

В 1850 году Чебышев защищает докторскую диссертацию и становится профессором Петербургского университета. Эту должность он занимал до старости.

В 1863 году особая «Комиссия Чебышева» принимала деятельное участие от Совета Санкт-Петербургского университета в разработке Университетского устава. Университетский устав, подписанный Александром II 18 июня 1863 года, предоставлял автономию университету как корпорации профессоров. Этот устав просуществовал до эпохи контрреформ правительства Александра III и рассматривался историками как наиболее либеральный и удачливый университетский регламент в России XIX - начала XX веков.

П. Л. Чебышев скончался 8 декабря 1894 года за письменным столом. Погребён в родном имении, в селе Спас-Прогнанье (ныне Жуковского района Калужской области) у храма Преображения Господня, рядом с могилами родителей.

Научная деятельность

Чебышев считается одним из основоположников теории приближения функций. Работы также в теории чисел, теории вероятностей, механике.

Учёная деятельность Чебышева, начавшаяся в 1843 году появлением в свет небольшой заметки «Note sur une classe d’int?grales d?finies multiples» («Journ. de Liouville», т. VIII), не прекращалась до конца его жизни. Последний его мемуар «О суммах, зависящих от положительных значений какой-либо функции», вышел в свет уже после его кончины (1895, «Mem. de l’Ас. des sc. de St.-Peters.»).

Из многочисленных открытий Чебышева надо упомянуть прежде всего работы по теории чисел. Начало их положено в прибавлениях к докторской диссертации Чебышева: «Теория сравнений», напечатанной в 1849 году. В 1850 году появился знаменитый «M?moire sur les nombres premiers», где даны асимптотические оценки для суммы ряда по всем простым числам p.

В 1867 году во II томе «Московского Математического Сборника» появился другой весьма замечательный мемуар Чебышева «О средних величинах», в котором дана теорема, лежащая в основе различных вопросов теории вероятностей и заключающая в себе знаменитую теорему Якова Бернулли как частный случай.

Этих двух работ было бы достаточно, чтобы увековечить имя Чебышева. По интегральному исчислению особенно замечателен мемуар 1860 года, в котором для заданного многочлена с рациональными коэффициентами даётся алгоритм определения такого числа A, что выражение интегрировалось в логарифмах, и вычисления соответствующего интеграла.

Наиболее оригинальными, как по сущности вопроса, так и по методу решения, являются работы Чебышева «О функциях, наименее уклоняющихся от нуля». Важнейший из этих мемуаров - мемуар 1857 года под заглавием «Sur les questions de minima qui se rattachent ? la repr?sentation approximative des fonctions» (в «Мем. Акад. Наук»). Профессор Клейн в своих лекциях, прочитанных в Гёттингенском университете в 1901 году, называл этот мемуар «удивительным» (wunderbar). Его содержание вошло в классическое сочинение I. Bertrand Trait? du Calcul diff. et integral. В связи с этими же вопросами находится и работа Чебышева «О черчении географических карт». Этот цикл работ считается основанием теории приближений. В связи с вопросами «о функциях, наименее уклоняющихся от нуля», находятся и работы Чебышева по практической механике, которой он занимался много и с большой любовью.

Также замечательны работы Чебышева об интерполировании, в которых он даёт новые формулы, важные как в теоретическом, так и практическом отношениях.

Одним из любимых приёмов Чебышёва, которым он особенно часто пользовался, было приложение свойств алгебраических непрерывных дробей к различным вопросам анализа.

К работам последнего периода деятельности Чебышева относятся исследования «О предельных значениях интегралов» («Sur les valeurs limites des int?grales», 1873). Совершенно новые вопросы, поставленные здесь Чебышевым, разрабатывались затем его учениками. Последний мемуар Чебышева 1895 года относится к той же области.

Общественная деятельность Чебышева не исчерпывалась его профессурой и участием в делах Академии наук. В качестве члена Ученого комитета Министерства просвещения он рецензировал учебники, составлял программы и инструкции для начальных и средних школ. Он был одним из организаторов Московского математического общества и первого в России математического журнала - «Математический сборник».

В течение сорока лет Чебышев принимал активное участие в работе военного артиллерийского ведомства и работал над усовершенствованием дальнобойности и точности артиллерийской стрельбы. В курсах баллистики до наших дней сохранилась формула Чебышева для вычисления дальности полета снаряда. Своими трудами Чебышев оказал большое влияние на развитие русской артиллерийской науки.

Ученики Чебышева

Для Чебышева не меньшее значение, чем конкретные научные результаты, всегда имела задача создания и развития российской математической школы.

Чебышев продолжал учить своих учеников и по окончании ими университетского курса, направляя их первые шаги на научном поприще, путём бесед и драгоценных указаний на плодотворные вопросы. Чебышев создал школу русских математиков, из которых многие известны и в настоящее время. Среди прямых учеников Чебышева - такие известные математики, как:

  • Вороной, Георгий Феодосьевич
  • Граве, Дмитрий Александрович
  • Золотарёв, Егор Иванович
  • Коркин, Александр Николаевич
  • Ляпунов, Александр Михайлович
  • Марков, Андрей Андреевич (старший)
  • Поссе, Константин Александрович
  • Сохоцкий, Юлиан Васильевич

Труды

    • Жизнь и труды П. Л. Чебышева (7). А. М. Ляпунов - Пафнутий Львович Чебышев (9). Список сочинений П. Л. Чебышева (22).
    • ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ П. Л. ЧЕБЫШЕВА:
    • Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины (29).
    • О простых числах (53).
    • Об интегрировании иррациональных дифференциалов (77).
    • Черчение географических карт (100).
    • Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближённым представлением функций (111).
    • О квадратурах (117).
    • О предельных величинах интегралов (134).
    • О приближённых выражениях квадратного корня переменной через простые дроби (137).
    • О двух теоремах относительно вероятностей (156).
    • Приложение I. Н. И. Ахиезер. Краткий обзор математических трудов П. Л. Чебышева (171).
    • Приложение II. Н. И. Ахиезер. Теорема П. Л. Чебышева относительно наилучшего приближения непрерывной функции с помощью рациональной дроби при наличии веса (189).
    • СОДЕРЖАНИЕ: Теория чисел. (9). Теория вероятностей. (111). Анализ. (227). Теория механизмов. (611).
    • ПРИЛОЖЕНИЯ: Н. И. Ахиезер П. Л. Чебышев и его научное наследие. - С. 843. И. И. Артоболевский, Н. И. Левитский Модели механизмов П. Л. Чебышева. - С. 888.

Статьи

Оценки и память

Заслуги Чебышева оценены были учёным миром достойным образом. Характеристика его учёных заслуг очень хорошо выражена в записке академиков А. А. Маркова и И. Я. Сонина, зачитанной на первом после смерти Чебышева заседании Академии. В этой записке, между прочим, сказано:

Известный математик Шарль Эрмит заявил, что Чебышев «является гордостью русской науки и одним из величайших математиков Европы», а профессор Стокгольмского университета Миттаг-Леффлер утверждал, что Чебышев - гениальный математик и один из величайших аналистов всех времен.

  • Петербургская академия наук (1853)
  • Берлинская академия наук
  • Болонская академия наук
  • Парижская академия наук (1860; эту честь Чебышев разделил лишь ещё с одним русским учёным, знаменитым Бэром, избранным в 1876 году и в том же году скончавшимся)
  • Избран также членом-корреспондентом Лондонского королевского общества, Шведской академии наук и др., всего 25 различных Академий и научных обществ. Чебышев состоял также почётным членом всех российских университетов.
  • премия имени П. Л. Чебышева «за лучшие исследования в области математики и теории механизмов и машин», учреждённая Академией наук СССР в 1944 году;
  • кратер на Луне;
  • астероид 2010 Чебышев;
  • математический журнал «Чебышевский Сборник»;
  • суперкомпьютер в НИВЦ МГУ;
  • многие объекты в современной математике;
  • П. Л. Чебышёв изображен на здании математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

    Почтовая марка СССР, 1946 год

    Почтовая марка СССР, 1946 год