В этой метрике записывается как

d s 2 = (1 − r s r) c 2 d t 2 − d r 2 (1 − r s r) − r 2 (sin 2 ⁡ θ d φ 2 + d θ 2) , {\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}+d\theta ^{2}\right),}

где r s = 2 G M c 2 {\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}} - так называемый радиус Шварцшильда , или гравитационный радиус , M {\displaystyle M} - масса, создающая гравитационное поле (в частности, масса чёрной дыры), G {\displaystyle G} - гравитационная постоянная , c {\displaystyle c} - скорость света . При этом область изменения координат − ∞ < t < ∞ , r s < r < ∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π {\displaystyle -\infty с отождествлением точек (t , r , θ , φ = 0) {\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi =0)} и (t , r , θ , φ = 2 π) {\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi =2\pi)} , как в обычных сферических координатах .

Координата r {\displaystyle r} не является длиной радиус-вектора, а вводится так, чтобы площадь сферы t = c o n s t , r = r 0 {\displaystyle t=\mathrm {const} ,\;r=r_{0}} в данной метрике была равна 4 π r 0 2 {\displaystyle 4\pi r_{0}^{2}} . При этом «расстояние» между двумя событиями с разными r {\displaystyle r} (но одинаковыми остальными координатами) даётся интегралом

∫ r 1 r 2 d r 1 − r s r > r 2 − r 1 , r 2 , r 1 > r s . {\displaystyle \int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}}>r_{2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.}

При M → 0 {\displaystyle M\to 0} или r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } метрика Шварцшильда стремится (покомпонентно) к метрике Минковского в сферических координатах, так что вдали от массивного тела M {\displaystyle M} пространство-время оказывается приблизительно псевдоевклидовым сигнатуры (1 , 3) {\displaystyle (1,3)} . Так как g 00 = 1 − r s r ⩽ 1 {\displaystyle g_{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}\leqslant 1} при r > r s {\displaystyle r>r_{s}} и g 00 {\displaystyle g_{00}} монотонно возрастает с ростом r {\displaystyle r} , то собственное время в точках вблизи тела «течёт медленнее», чем вдалеке от него, то есть происходит гравитационное замедление времени массивными телами.

Дифференциальные характеристики

Для центрально-симметричного гравитационного поля в пустоте (а это и есть случай метрики Шварцшильда) можно положить:

g 00 = e ν , g 11 = − e λ ; λ + ν = 0 , e − λ = e ν = 1 − r s r . {\displaystyle g_{00}=e^{\nu },\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }=e^{\nu }=1-{\frac {r_{s}}{r}}.}

Тогда не равные нулю независимые символы Кристоффеля имеют вид

Γ 11 1 = λ r ′ 2 , Γ 10 0 = ν r ′ 2 , Γ 33 2 = − sin ⁡ θ cos ⁡ θ , {\displaystyle \Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,} Γ 11 0 = λ t ′ 2 e λ − ν , Γ 22 1 = − r e − λ , Γ 00 1 = ν r ′ 2 e ν − λ , {\displaystyle \Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}}e^{\lambda -\nu },\quad \Gamma _{22}^{1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\nu -\lambda },} Γ 12 2 = Γ 13 3 = 1 r , Γ 23 3 = ctg θ , Γ 00 0 = ν t ′ 2 , {\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r}},\quad \Gamma _{23}^{3}=\operatorname {ctg} \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},} Γ 10 1 = λ t ′ 2 , Γ 33 1 = − r sin 2 ⁡ θ e − λ . {\displaystyle \Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta \,e^{-\lambda }.} I 1 = (r s 2 r 3) 2 , I 2 = (r s 2 r 3) 3 . {\displaystyle I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{3}.}

Тензор кривизны относится к типу D {\displaystyle \mathbf {D} } по Петрову .

Дефект массы

Если имеется сферически симметричное распределение материи «радиуса» (с точки зрения координат) a {\displaystyle a} , то полная масса тела может быть выражена через его тензор энергии-импульса по формуле

m = 4 π c 2 ∫ 0 a T 0 0 r 2 d r . {\displaystyle m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.}

В частности, для статического распределения вещества T 0 0 = ε {\displaystyle T_{0}^{0}=\varepsilon } , где ε {\displaystyle \varepsilon } - плотность энергии в пространстве. Учитывая, что объём шарового слоя в выбранных нами координатах равен

d V = 4 π r 2 g 11 d r > 4 π r 2 d r , {\displaystyle dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,}

получим, что

m = ∫ 0 a ε c 2 4 π r 2 d r < ∫ V ε c 2 d V . {\displaystyle m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.}

Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела . Можно сказать, что часть полной энергии системы содержится в энергии гравитационного поля, хотя локализовать эту энергию в пространстве невозможно.

Особенность в метрике

На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при r = 0 {\displaystyle r=0} и при . Действительно, в Шварцшильдовских координатах частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время t {\displaystyle t} для достижения поверхности r = r s {\displaystyle r=r_{s}} , однако переход, например, к координатам Леметра в сопутствующей системе отсчёта показывает, что с точки зрения падающего наблюдателя никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, причём как сама поверхность, так и область r ≈ 0 {\displaystyle r\approx 0} будут достигнуты за конечное собственное время .

Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь при r → 0 {\displaystyle r\to 0} , где стремятся к бесконечности скалярные инварианты тензора кривизны . Эта особенность (сингулярность) не может быть устранена сменой системы координат.

Горизонт событий

Поверхность r = r s {\displaystyle r=r_{s}} называется горизонтом событий . При более удачном выборе координат, например в координатах Леметра или Крускала, можно показать, что никакие сигналы не могут выйти из чёрной дыры через горизонт событий. В этом смысле не удивительно, что поле вне Шварцшильдовской чёрной дыры зависит лишь от одного параметра - полной массы тела.

Координаты Крускала

Можно попытаться ввести координаты, не дающие сингулярности при r = r s {\displaystyle r=r_{s}} . Таких координатных систем известно множество, и самой часто встречающейся из них является система координат Крускала, которая покрывает одной картой всё максимально продолженное многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна (без космологической постоянной). Это большее пространство-время M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} называется обычно (максимально продолженным) пространством Шварцшильда или (реже) пространством Крускала (Диаграмма Крускала - Секереша). Метрика в координатах Крускала имеет вид

d s 2 = − F (u , v) 2 d u d v + r 2 (u , v) (d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2) , (2) {\displaystyle ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)}

где F = 4 r s 3 r e − r / r s {\displaystyle F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}} , а функция r (u , v) {\displaystyle r(u,v)} определяется (неявно) уравнением (1 − r / r s) e r / r s = u v {\displaystyle (1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv} .

Искусная разработка Шварцшильда имела лишь относительный успех. Ни его метод, ни его интерпретация не были взяты на вооружение. Из его работы не сохранили почти ничего, кроме «голого» результата метрики, с которой связали имя её создателя. Но вопросы интерпретации и прежде всего вопрос «сингулярности Шварцшильда» тем не менее решены не были. Стала выкристаллизовываться точка зрения, что эта сингулярность не имеет значения. К этой точке зрения вели два пути: с одной стороны, теоретический, согласно которому «сингулярность Шварцшильда» непроницаема, и с другой стороны, эмпирический, состоящий в том, что «этого в природе не существует». Эта точка зрения распространилась и стала доминирующей во всей специальной литературе того времени.

Следующий этап связан с интенсивным исследованием вопросов гравитации в начале «золотого века» теории относительности.

Предыстория публикаций

25 ноября 1915 года профессор Берлинского университета Альберт Эйнштейн представил Королевской академии наук Пруссии письменный доклад, содержащий систему полностью ковариантных (не меняющих вид при изменении системы координат) уравнений релятивистской теории гравитационного поля, известной также как Общая теория относительности (ОТО).

Неделей раньше Эйнштейн выступил на заседании Академии с лекцией, где продемонстрировал более раннюю и еще неполную версию этих уравнений, которые не обладали полной ковариантностью. Однако уже эти уравнения дали Эйнштейну возможность с помощью метода последовательных приближений правильно вычислить аномальное вращение орбиты Меркурия и предсказать величину углового отклонения звездного света в поле тяготения Солнца. Карл Шварцшильд Это выступление нашло благодарного слушателя — Карла Шварцшильда, коллегу Эйнштейна по Академии. Он служил лейтенантом артиллерии в действующей армии Германской империи и как раз тогда приехал в отпуск. В декабре, уже по возвращении на фронт, Шварцшильд нашел точное решение первой версии уравнений Эйнштейна, которое через его посредство опубликовал в «Отчетах о заседаниях» (Sitzungsberichte ) Академии. В феврале, уже ознакомившись с окончательной версией уравнений ОТО, Шварцшильд отослал Эйнштейну вторую статью, в которой впервые фигурирует гравитационный, он же шварцшильдовский, радиус. В современной интерпретации это — радиус горизонта черной дыры, из-под которого невозможна передача сигнала наружу. 24 февраля, когда Эйнштейн передал в печать и эту работу, битва под Верденом длилась уже три дня.

Наука и война

Карл Шварцшильд (1873−1916) был не только блестящим, но и разносторонним ученым. Он оставил глубокий след в наблюдательной астрономии, будучи одним из пионеров оснащения телескопов фотографической аппаратурой и ее использования в целях фотометрии. Ему принадлежат глубокие и оригинальные труды в области электродинамики, звездной астрономии, астрофизики и оптики. Шварцшильд даже успел внести немалый вклад в квантовую механику атомных оболочек, построив в своей последней научной работе теорию эффекта Штарка — смещения и расщепления атомных уровней в электрическом поле . В 1900 году, за пятнадцать лет до создания ОТО, он не только всерьез рассмотрел ту парадоксальную возможность, что геометрия Вселенной отличается от евклидовой (такое допускал еще Лобачевский), но и оценил нижние пределы радиуса кривизны пространства для сферической и псевдосферической геометрии космоса. Не достигнув и тридцати лет, он стал профессором Гёттингенского университета и директором университетской обсерватории, в 1909 году был избран членом лондонского Королевского астрономического общества и возглавил Потсдамскую астрофизическую обсерваторию, а еще через четыре года стал действительным членом Прусской академии наук. Известие о смерти немецкого солдата, павшего под Верденом Стройную научную карьеру Шварцшильда оборвала Первая мировая война. Он не подлежал призыву по возрасту, но пошел в армию добровольцем и в конце концов оказался на русском фронте в штабе артиллерийской части, где занимался вычислением траекторий снарядов дальнобойных орудий. Там он стал жертвой пемфигуса, или пузырчатки, очень тяжелого аутоиммунного заболевания кожных покровов, к которому имел наследственную склонность. Эта патология плохо поддается лекарствам и в наше время, а тогда и вовсе была неизлечимой.

В марте 1916 года Шварцшильд был комиссован и вернулся в Потсдам, где скончался 11 мая. Он был одним из самых крупных физиков, чьи жизни унесла Первая мировая. Также можно вспомнить Генри Мозли, одного из основоположников рентгеновской спектроскопии. Он служил офицером связи и погиб в 27 лет в ходе Дарданелльской операции 10 августа 1915 года.

Метрика Шварцшильда

Знаменитая пространственно-временная метрика (или четырехтензор) Шварцшильда исторически стала первым точным решением уравнений ОТО. Она описывает статическое гравитационное поле, которое создается в вакууме неподвижным сферически симметричным телом массы M. В стандартной записи в координатах Шварцшильдаt, r, θ, φ имеет две особые точки (на формальном языке — сингулярности), вблизи которых один из элементов метрики стремится к нулю, а другой к бесконечности. Одна из сингулярностей возникает при r = 0, то есть там же, где обращается в бесконечность ньютоновский потенциал тяготения. Вторая сингулярность соответствует значению r = 2GM/с 2 , где G — гравитационная постоянная, M — гравитирующая масса и с — скорость света. Этот параметр обычно обозначают r s и называют радиусом Шварцшильда или гравитационным радиусом. Это уже неньютоновская сингулярность, вытекающая из уравнений ОТО, над смыслом которой мучилось несколько поколений физиков. Гравитационный радиус тела с массой Солнца равен приблизительно 3 км. Как известно, этот параметр играет ключевую роль в теории черных дыр.

Стоит напомнить, что угловые координаты Шварцшильда θ и φ полностью аналогичны полярному и азимутальному углам в обычных сферических координатах, однако величина радиальной координаты r отнюдь не равна длине радиус-вектора. В метрике Шварцшильда длина окружности с центром в начале координат выражается евклидовской формулой 2πr, однако расстояние между двумя точками с радиусами r 1 и r 2 , находящимися на одном радиус-векторе, всегда превышает арифметическую разность r 2 -r 1 . Отсюда сразу видно, что шварцшильдовское пространство неевклидово — отношение длины окружности к длине ее радиуса меньше, чем 2π.

Первый мостик к черным дырам

А теперь самое интересное. Метрика Шварцшильда, как она приведена выше, в обеих его статьях вообще отсутствует. В первой из его публикаций «О гравитационном поле точечной массы, вытекающем из теории Эйнштейна» представлена метрика пространства-времени, соответствующая полю тяготения точечной массы, которая вовсе не эквивалентна стандартной метрике, хотя внешне на нее похожа. В той метрике, которую написал сам Шварцшильд, радиальная координата имеет нижнюю положительную границу, так что сингулярность ньютоновского типа в ней отсутствует. Остается лишь сингулярность, которая возникает, когда радиус принимает свое минимальное значение, которое возникает как постоянная интегрирования. Для этой постоянной в статье Шварцшильда нет ни формулы, ни численной оценки, только обозначение α. Неформальный смысл этой сингулярности состоит в том, что точечный центр массы окружен сферой радиуса α и на этой сферической поверхности происходит нечто странное и непонятное. В подробности Шварцшильд не вдается.

Карл Шварцшильд получил свою метрику в результате решения уравнений Эйнштейна в их первой версии, с которой он ознакомился 18 ноября. На ее основе он подтвердил величину вычисленного Эйнштейном аномального поворота орбиты Меркурия. Он также вывел релятивистский аналог третьего закона Кеплера — однако только для круговых орбит. Конкретно, он показал, что квадрат угловой скорости пробных тел, обращающихся по таким орбитам вокруг центральной точки, дается простой формулой n 2 = α/2R 3 (буквой n Шварцшильд обозначает угловую скорость; R — радиальная координата). Поскольку R не может быть меньше, чем α, угловая скорость имеет верхний предел n 0 = 1/(√2α).

Напомню, что в ньютоновской механике угловая скорость тел, обращающихся вокруг точечной массы, может быть сколь угодно большой, так что тут зримо видна специфика ОТО.

Формула для n 0 выглядит необычно из-за ее размерности. Это связано с тем, что Шварцшильд принимает скорость света за единицу. Чтобы получить угловую скорость с обычной размерностью 1/сек, надо правую часть формулы для n 0 умножить на скорость света c.

Изюминку Шварцшильд приберег под занавес. В конце статьи он отметил, что если величина точечной массы в начале координат равна массе Солнца, то максимальная частота обращения оказывается примерно 10 тыс. оборотов в секунду. Отсюда сразу следует, что α = 10 -4 с/2π√2. Так как с = 3×10 5 км/сек, параметр α оказывается приблизительно равным 3 км, то есть гравитационному радиусу Солнца! Не появившись в статье Шварцшильда явно, это число проникло туда с черного хода и без какого-либо обоснования (Шварцшильд ведь не уточнил, как он получил численную величину предельной частоты). В общем, уже первая статья Шварцшильда прокладывает очень тонкий мостик к теории черных дыр, хотя обнаружить его не так-то просто. Заметив это, я немало удивился, поскольку принято считать, что гравитационный радиус появляется только во второй статье Шварцшильда.

Второй мостик к черным дырам

Вторая статья Шварцшильда называется «О гравитационном поле сферы, заполненной несжимаемой жидкостью, вычисленном в соответствии с теорией Эйнштейна» . В ней (напомню, уже на базе полной системы уравнений ОТО) вычислены две метрики: для внешнего пространства и для пространства внутри сферы. В конце этой статьи впервые появляется гравитационнный радиус 2GM/с 2 , только выраженный в других единицах и никак специально не названный. Как отмечает Шварцшильд, в случае тела с массой Солнца он равен 3 км, а для массы в 1 г равен 1,5×10 -28 см.

Но эти числа еще не самое интересное. Шварцшильд также указывает, что радиус сферического тела, измеренный внешним наблюдателем, не может быть меньше его гравитационного радиуса. Отсюда следует, что точечная масса, о которой шла речь в первой статье Шварцшильда, также представляется извне в виде сферы. Физически это связано с тем, что никакой световой луч не может приблизиться к этой массе ближе, чем на ее гравитационный радиус, а затем вернуться к внешнему наблюдателю. В статье Шварцшильда этих утверждений нет, но они прямо следуют из ее логики. Это второй мостик к концепции черных дыр, который можно найти у самого Шварцшильда.

Эпилог

Сферически симметричными решениями уравнений ОТО после Шварцшильда занимались и чистые математики, и физики, и космологи. Весной 1916 года голландец Йоханнес Дросте, который заканчивал в Лейденском университете докторскую диссертацию под руководством Хендрика Лоренца, представил шефу для публикации работу, в которой вычислил метрику пространства-времени для точечной массы проще, чем это сделал Шварцшильд (о его результататх Дросте еще не успел узнать). Именно Дросте первым опубликовал ту версию метрики, которая позже стала считаться стандартной .

В ходе последующей шлифовки решения Шварцшильда был также обнаружен совершенно различный характер сингулярностей: одну, возникающую в стандартной форме метрики при г = rs, как выяснилось, можно устранить заменой координат, другая, возникающая при r = 0, оказалась неустранимой и физически соответствует бесконечности поля тяготения.

Всё это очень интересно, но полностью выпадает за рамки моей статьи. Достаточно сказать, что математическая теория черных дыр давно и хорошо разработана и очень красива — и вся она исторически восходит к решению Шварцшильда. Что касается физической реальности черных дыр, возникающих в результате коллапса самых массивных звезд, то в нее астрономы начали верить лишь с начала 1960-х годов, после открытия первых квазаров. Но это уже совсем другая история.

1. Schwarzschild K. Zur Quantenhypothese / Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. I (1916). P. 548−568.

2. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse 1916. P. 189−196.

3. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse. 1916. P. 424−434.

4. Droste J. The Field of a Single Center in EINSTEIN’s Theory of Gravitation, and the Motion of a Particle in that Field.Proc. K. Ned. Akad. Wet. Ser. A 19. 197 (1917).

Сто лет назад действительный член Королевской Академии наук Пруссии Карл Шварцшильд послал своему собрату по Академии Альберту Эйнштейну статью с математическим описанием поля тяготения вне и внутри сферы, заполненной неподвижной жидкостью постоянной плотности. Эта работа стала началом теоретических исследований экзотических объектов, которые мы называем черными дырами.

Озарение Джона Мичелла

История создания современной теории черных дыр и их открытия в космическом пространстве слишком обширна и сложна, чтобы ее можно было без пропусков и упрощений уложить в статью разумного размера. Поэтому я доведу повествование только до первых примеров использования математической модели Шварцшильда в реальной астрофизике, которые имели место почти через четверть века после публикации его замечательной статьи. Однако в противоположном направлении я залезу в историю куда дальше - в конец XVIII столетия. Как раз тогда, в 1784 году, в официальном журнале Лондонского Королевского общества появилась статья с непривычно (во всяком случае, для нас) длинным заголовком: On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. of the Fixed Stars, in Consequence of the Diminution of the Velocity of Their Light, in Case Such a Diminution Should be Found to Take Place in any of Them, and Such Other Data Should be Procured from Observations, as Would be Farther Necessary for That Purpose. By the Rev. John Michell, B. D. F. R. S. In a Letter to Henry Cavendish, Esq. F. R. S. and A.S. Ее автор, преподобный Джон Мичелл (John Michell), уже тогда умел вычислять физическую величину, которая сейчас носит имя радиуса Шварцшильда . Хотя эта работа ни в каком смысле не может считаться предшественницей современной концепции черных дыр, исторической полноты ради начать надо именно с нее.

Есть все основания назвать Джона Мичелла (1724–1793) самым блестящим английским ученым XVIII века, окончившим курс Кембриджского университета. Он получил образование в Колледже Королев (Queens" College), где затем преподавал с 1751-го по 1763 год. Женившись, он приличного дохода ради стал искать церковную должность, и с 1767 года до самой смерти был настоятелем (ректором) прихода Св. Михаила в деревне Торнхилл неподалеку от Лидса. Он и там продолжал заниматься наукой - до конца жизни.

Мичелл был замечательным и в высшей степени оригинальным исследователем. Его заслуженно считают отцом-основателем сразу двух наук - сейсмологии и звездной статистики. Мичелл первым обнаружил, что сила отталкивания между одноименными полюсами постоянных магнитов убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, и задолго до Шарля Кулона (Charles-Augustin de Coulomb) изобрел и сделал «в железе» крутильные весы, которые хотел, но не успел использовать для гравиметрических экспериментов. Уже после смерти Мичелла его друг Генри Кавендиш (Henry Cavendish), который получил этот прибор и самостоятельно построил его модифицированную версию, выполнил прецизионные промеры силы тяготения , результаты которых уже в начале XIX века позволили вычислить гравитационную постоянную с ошибкой всего лишь порядка одного процента. (Возможно, стоит напомнить, что эта фундаментальная физическая константа, как принято считать, впервые появилась в первом томе знаменитой монографии Симеона Дени Пуассона (Siméon Denis Poisson) Traité de mécanique , а широко использоваться физиками стала только во второй половине XIX века.) К слову, статья Мичелла, о которой идет речь, была отослана именно Кавендишу, зачитавшему ее на нескольких заседаниях Королевского общества в конце 1783-го и в начале 1784 года. Мичелл, и сам активный член Общества с 1760 года, тогда не смог или не захотел приехать в Лондон (почему именно, неизвестно).

К сожалению, Мичелл был неважным коммуникатором. Он часто включал свои самые замечательные результаты в тексты длинных журнальных статей, где описания открытий почти терялись на довольно трюистичном фоне. Из-за этого Мичелл ни при жизни, ни после смерти не получил того признания, которое он, несомненно, заслуживал.

Во вводном письме к Кавендишу, предваряющем основную статью, Мичелл очень четко сформулировал цель нового исследования. Он, как и другие британские ученые того времени, вслед за Ньютоном считал свет потоком мельчайших частиц. Мичелл также вслед за Джозефом Пристли (Joseph Priestley) предположил, что эти частицы, как и обычная материя, подчиняются законам механики и, в частности, должны тормозиться силами тяготения. Мичелл решил, что с помощью этого эффекта в принципе можно измерять расстояния до звезд, звездные величины и звездные массы (стр. 35). Он также выразил надежду, что астрономы смогут плодотворно использовать этот еще никем не применявшийся метод наблюдений (стр. 35–36).

Суть дела в следующем. Считая, что скорость света в момент его испускания всегда одинакова, Мичелл предложил определять скорость света, приходящего на Землю от различных звезд, и с помощью законов небесной механики выжимать из этих измерений сведения о самих звездах. Например, если допустить, что все звезды (или какая-то группа звезд) удалены от Земли примерно на одинаковые расстояния, такие измерения позволят оценивать отношения звездных масс: чем тяжелее звезда, тем сильнее ее тяготение будет замедлять световые корпускулы.

Мичелл весьма подробно объяснил детали своего метода, причем, в духе ньютоновских «Математических начал натуральной философии», не привел ни одной формулы - его изложение строго геометрично. В его статье немало остроумных заключений, тем более что, помимо механики, он привлекает для своих рассуждений оптику и астрономию. Конечно, этот труд был потрачен впустую: скорость света в вакууме постоянна. Поэтому статья Мичелла скорее всего была бы прочно забыта, если бы не один вывод - кстати, сделанный совершенно походя. Развивая свои дедукции, он в конце концов заключает, что очень массивная звезда должна настолько тормозить световые частицы, что они никогда не смогут уйти на бесконечность. Весь ее свет под действием ее же собственного притяжения «будет вынужден вернуться обратно к звезде» (стр. 42). Отсюда следует, что такая звезда окажется невидимой - по крайней мере, с очень больших дистанций. Мичелл отметил, что, согласно его вычислениям, для того, чтобы свет звезды с той же плотностью, что и у Солнца, не мог уйти на бесконечность, ее диаметр должен примерно в 500 раз превышать солнечный. Таким образом, заключает Мичелл, если очень далеко от нас существуют столь же (и даже более) массивные звезды, мы никогда не сможем получить о них никакой информации посредством их света (стр. 50). Интересно, что он использует именно слово information, которое тогда отнюдь не было в таком ходу, как в наши дни.

Легко видеть, что аналогия между черными дырами в современном понимании и мичелловскими экзотическими звездами очень поверхностна и приблизительна. Классическая черная дыра вообще не излучает никакого света (гипотетическое излучение Хокинга - чисто квантовый эффект) и в этом смысле действительно является черной. Световые корпускулы в модели Мичелла, напротив, при любом раскладе покидают поверхность звезды, только не всегда уходят на бесконечность. Поэтому у Мичелла никаких абсолютно черных звезд нет и быть не может, все они видны с тех или иных дистанций. Есть и множество других вполне очевидных различий.

Мичелл задумался и над тем, нельзя ли с Земли как-то обнаружить звезду, если ее свет не достигает нашей планеты. И предложил (я не могу не восхититься его проницательностью!) не просто осуществимое, но и абсолютно современное решение. Предположим, что такая звезда входит в двойную систему, причем свет второй звезды виден в наши телескопы. Тогда мы сможем судить о наличии и даже свойствах невидимой звезды, наблюдая «качания» ее партнера. Хорошо известно, что этот метод давно применяется при поиске экзопланет.

Насколько прав оказался Мичелл в своем вычислении параметров звезды, которую невозможно увидеть с бесконечно большой дистанции? Соответствующую формулу получить очень легко, это задача для школьника. Надо взять общеизвестное математическое выражение для второй космической скорости и подставить на ее место скорость света. В результате получим, что звезда с массой M будет посылать световые корпускулы на конечные расстояния, если ее радиус R не превышает величину \(R_{cr} = \frac{2GM}{c^2} \), где G - ньютоновская постоянная тяготения, а c - скорость света. Для звезды с массой Солнца это примерно 3 километра. Следовательно, критический радиус любой звезды в мичелловской модели равен трем километрам, умноженным на ее массу в солнечных единицах (иначе говоря, на отношение ее массы к массе Солнца). Конечно, алгебраической формулой для критического радиуса Мичелл владеть не мог хотя бы из-за отсутствия в тогдашнем физическом языке понятия гравитационной постоянной. Мичелл (опять-таки в духе Ньютона) оценил его с помощью геометрических построений, причем весьма остроумных.

Вернемся к примеру Мичелла. Масса звезды солнечной плотности, чей поперечник в 500 раз больше солнечного, составляет 125 миллионов солнечных масс. Критический радиус тела с такой массой, согласно вышеприведенной формуле, равен 375 миллионов километров. Средний радиус Солнца - это примерно 700 тысяч километров, и если его умножить на 500, получим 350 миллионов. Так что Мичелл ошибся совсем немного.

Джон Мичелл доверял своей логике и интуиции и поэтому допускал, что глубины космоса скрывают множество звезд, которые с Земли нельзя разглядеть ни в один телескоп. Через три года после его смерти к такому же выводу пришел великий французский математик, астроном и физик Пьер-Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace), тогда еще не имевший ни графского титула, полученного от Наполеона, ни титула маркиза, которым его удостоили Бурбоны. О светящихся, но невидимых с Земли телах (corps obscurs) он очень кратко упомянул в первом (1796) издании своего популярного трактата Exposition du Système du Monde . В XIX веке этот труд выдержал много прижизненных переизданий, которые уже не упоминали эту гипотезу. Это и понятно, поскольку большинство физиков тогда уже считало свет колебаниями эфира. Существование «темных» звезд противоречило волновой концепции света, и Лаплас счел за лучшее о них забыть. В позднейшие времена эту идею считали курьезом, достойным упоминания лишь в трудах по истории науки.

И еще одна немаловажная деталь. И Мичелл, и Лаплас приписывали невидимость на больших дистанциях только самым гигантским и, автоматически, самым массивным звездам (в то время считалось, что плотности всех звезд приблизительно равны плотности Солнца). Ни тот, ни другой не заметили, что в рамках ньютонвской теории света тем же свойством может обладать и небольшое светящееся тело чрезвычайно высокой плотности. Впрочем, о возможности столь компактных космических объектов в то время никто не задумывался.

Карл Шварцшильд и его формулы

25 ноября 1915 года Альберт Эйнштейн представил Академии наук Пруссии письменный доклад, содержащий систему полностью ковариантных уравнений релятивистской теории гравитационного поля, известной также как общая теория относительности (ОТО). Неделей раньше он выступил на заседании Академии с лекцией, в которой продемонстрировал в работе более раннюю версию этих уравнений, которые не обладали полной ковариантностью (ее он представил Академии двумя неделями ранее). Однако уже эти уравнения дали Эйнштейну возможность с помощью метода последовательных приближений правильно вычислить аномальное вращение орбиты Меркурия и предсказать величину углового отклонения звездного света в поле тяготения Солнца (подробнее об истории открытия ОТО см. новость Столетие ОТО, или Юбилей Первой ноябрьской революции , «Элементы», 25.11.2015).

Это выступление нашло благодарного слушателя в лице коллеги Эйнштейна по Академии Карла Шварцшильда (Karl Schwarzschild, 1873–1916), который служил в действующей армии Германской империи лейтенантом артиллерии и как раз тогда приехал в отпуск. Вернувшись к месту службы, Шварцшильд в декабре нашел точное решение первой версии уравнений Эйнштейна, которое опубликовал через его посредство в «Отчетах о заседаниях» (Sitzungsberichte ) Академии. В феврале, уже ознакомившись с окончательной версией уравнений ОТО, Шварцшильд отослал Эйнштейну вторую статью, в которой впервые в явном виде фигурировал гравитационный, он же шварцшильдовский, радиус . 24 февраля Эйнштейн передал в печать и эту работу.

Подобно Джону Мичеллу, Шварцшильд был не только блестящим, но и очень разносторонним ученым. Он оставил глубокий след в наблюдательной астрономии, где стал одним из пионеров оснащения телескопов фотографической аппаратурой и ее использования в целях фотометрии. Ему принадлежат глубокие и оригинальные труды в области электродинамики, звездной астрономии, астрофизики и оптики. Шварцшильд даже успел внести важный вклад в квантовую механику атомных оболочек, построив в своей последней научной работе теорию эффекта Штарка (K. Schwarzschild, 1916. Zur Quantenhypothese). В 1900 году, за пятнадцать лет до создания ОТО, он не только всерьез рассмотрел возможность того, что геометрия Вселенной отличается от евклидовой (ее допускал еще Лобачевский), но и оценил нижние пределы радиуса кривизны пространства для сферической и псевдосферической геометрии космоса. Не достигнув еще и тридцати лет, он стал профессором Геттингенского университета и директором университетской обсерватории. В 1909 году он был избран членом Лондонского астрономического общества и возглавил Потсдамскую астрофизическую обсерваторию, а еще через четыре года сделался членом Прусской академии.

Научную карьеру Шварцшильда оборвала Первая мировая война. Не подлежа по возрасту призыву, он пошел в армию добровольцем и в конце концов оказался на русском фронте в штабе артиллерийской части, где занимался расчетом траекторий снарядов дальнобойных орудий. Там он стал жертвой пемфигуса , очень тяжелого аутоиммунного заболевания кожных покровов, к которому имел наследственную склонность. Эта патология плохо поддается лекарствам и в наше время, а тогда была неизлечимой. В марте 1916 года Шварцшильд был комиссован и вернулся в Потсдам, где скончался 11 мая. Шварцшильд и погибший в Дарданелльской операции английский физик Генри Гвин Мозли (Henry Moseley) стали самыми крупными учеными, чьи жизни унесла Первая мировая война.

Знаменитая пространственно-временная метрика Шварцшильда исторически стала первым точным решением уравнений ОТО. Она описывает статическое гравитационное поле, которое создается в вакууме неподвижным сферически симметричным телом массы M . В стандартной записи в координатах Шварцшильда t , r , θ, φ и при выборе сигнатуры (+, −, −, −) она дается формулой

\[ \mathrm{d}s^2= \left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2\mathrm{d}t^2- \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2- r^2(\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2 + \mathrm{d}\theta^2), \quad\quad\quad \text{(1)}\]

К концу первой четверти ХХ столетия астрономы научились с приличной точностью определять межгалактические расстояния в окрестности Млечного Пути. После этого стало ясно, что некоторые из новых звезд излучают в тысячи раз больше энергии, нежели остальные. В 1925 году шведский астроном Кнут Эмиль Лундмарк (Knut Emil Lundmark) предложил выделить их в особую группу новых звезд высшего класса, но это наименование как-то не привилось. В начале 30-х профессор физики Калтеха Фриц Цвикки (Fritz Zwicky) в лекциях для аспирантов стал называть экстремально яркие вспышки сверх-новыми . Этот термин привился, хотя со временем лишился дефиса.

В декабре 1933 году Цвикки и астроном из обсерватории Маунт Вильсон Вальтер Бааде (Walter Baade) (оба - эмигранты из Европы) представили на сессии Американского физического общества доклад «О сверх-новых», который вскоре появился в печати (W. A. Baade and F. Zwicky, 1934 On Super-Novae). Доклад был замечен за пределами физического сообщества и отмечен в американских СМИ. Бааде и Цвикки подсчитали, что в течение месяца типичная сверхновая посылает в пространство столько же света, сколько излучает наше Солнце за 10 миллионов лет. Они пришли к заключению, что такое возможно лишь при частичном превращении массы звезды в лучевую энергию в соответствии с формулой Эйнштейна. Поэтому они предположили, что взрыв сверхновой представляет собой трансформацию обычной звезды в звезду нового типа, состоящую в основном из нейтронов. Нейтронная звезда должна обладать очень малым радиусом и, следовательно, состоять из вещества экстремально высокой плотности, на много порядков превосходящей плотность белых карликов. Эта гипотеза была сформулирована в заметке Cosmic Rays from Super-Novae , опубликованной в том же выпуске Proceedings of the National Academy of Sciences сразу вслед за первым сообщением. В той же работе они выдвинули поистине пророческую гипотезу: взрывы сверхновых звезд могут быть источником космических лучей.

Большинство специалистов сочло предположение о рождении нейтронных звезд на финальной стадии взрывов сверхновых, мягко говоря, плохо обоснованным - тем более, что Цвикки и Бааде не могли предложить физический механизм рождения столь странных космических объектов. Поначалу его не принял даже Чандрасекар, хотя в 1939 году, выступая на конференции в Париже, он все же допустил, что эта гипотеза имеет право на существование. Окончательно ее справедливость стала ясной только после открытия радиопульсаров в 1967 году. Стоит отметить, что термин «пульсар» в конце того же года изобрел не ученый, а журналист, научный обозреватель газеты Daily Telegraph Энтони Михаэлис (Anthony Michaelis).

Бааде и Цвикки не первыми допустили существование космических объектов, состоящих из сверхплотной материи. Ранее с аналогичной идеей выступил Лев Давидович Ландау , который предположил, что состоящие из такой материи звездные ядра могут служить источником гравитационной энергии, которую звезды расходуют на свое излучение. Его статья была написана в начале 1931 года, то есть еще до открытия нейтрона заместителем директора Кавендишской лаборатории Джеймсом Чедвиком (James Chadwick) в 1932 году (естественно, эта частица в статье Ландау и не упоминается), однако опубликована годом позже (L. D. Landau, 1932. On the theory of stars). В первой части статьи Ландау не только самостоятельно переоткрыл формулу для предела Чандрасекара (о которой он, можно не сомневаться, не успел узнать), но и вычислил для него вполне приемлемое значение 1,5 M s . Ландау оказался ближе к истине, поскольку использовал вполне реалистичную оценку массы на один электрон, посчитав ее равной удвоенной массе протона (Чандрасекар в своей первой статье счел ее равной двум с половиной протонным массам).

Во второй части Ландау в каком-то смысле дал волю фантазии. Он сделал весьма экзотическое допущение, согласно которому обычные звезды обладают компактными сверхплотными сердцевинами, фактически гигантскими атомными ядрами, которые и служат их энергетическими источниками. Поскольку обосновать эту идею в контексте тогдашних (впрочем, как и сегодняшних) фундаментальных физических теорий было невозможно, Ландау даже допустил, что в таких звездных недрах может нарушаться закон сохранения энергии. При этом он ссылался на авторитет Нильса Бора, который пытался в том же ключе объяснить загадочный разброс энергий и импульсов бета-распадных электронов (как известно, Вольфганг Паули «спас» закон сохранения энергии с помощью гипотетической нейтральной частицы, позднее названной нейтрино).

В общем, «нейтронизация» звездного вещества как причина феноменальной мощности сверхновых - целиком и полностью идея Бааде и Цвикки. Правда, Бааде больше к ней не возвращался и, скорее всего, не слишком принимал всерьез. А вот Цвикки развернул целую программу поиска сверхновых с помощью 18-дюймового телескопа с фотокамерой, приобретенного за счет фонда Рокфеллера. Уже к осени 1937 года, всего за год наблюдений, он обнаружил три сверхновых. Эта программа была свернута после нападения японцев на Перл-Харбор.

В ретроспективе понятно, что гипотеза Бааде и Цвикки указывала на тот самый переход от вырожденного электронного газа к веществу иной природы, который логически вытекал из работ Френкеля, Андерсона, Стоунера и Чандрасекара. Неудивительно, что она весьма заинтересовала Ландау, который через несколько лет вернулся к своей модели и опубликовал ее модифицированную версию в журнале Nature (L. D. Landau, 1938. Origin of Stellar Energy). В этой заметке Ландау уже прямо писал не вообще о ядерной, а именно о нейтронной материи, возникшей при слиянии электронов с атомными ядрами при сверхвысоких давлениях внутри звездных недр (интересно, что при этом он сослался не на Бааде и Цвикки, а на профессора Лейпцигского университета Фридриха Хунда (Friedrich Hund), который в середине 1930-х годов весьма активно занимался астрофизикой). Ландау утверждал, что нормальные звезды могут обладать стабильными нейтронными ядрами с массой свыше одной тысячной (в других предположениях, одной двадцатой) массы Солнца, сжатие которых обеспечивает энергию, идущую на их излучение.

Однако в данном случае Ландау изменила его прославленная интуиция. Его гипотеза в том же году была опровергнута Робертом Оппенгеймером (Julius Robert Oppenheimer) и его постдоком Робертом Сербером (Robert Serber) (J. R. Oppenheimer and R. Serber, 1938. On the Stability of Stellar Neutron Cores). Они показали, что адекватный учет ядерных сил практически исключает возможность существования нейтронных ядер у звезд, чьи массы сравнимы с массой Солнца. Оппенгеймер и Сербер также пришли к совершенно верному, как показало время, заключению, что никакое нейтронное ядро не может возникнуть до того, как звезда полностью исчерпает все источники ядерной энергии (и, таким образом, хотя в статье это прямо и не говорится, сойдет с главной последовательности). В их коротком сообщении также отмечено (правда, без доказательств), что масса такого ядра во всяком случае не может быть меньше одной десятой массы Солнца. Эта оценка была получена на основе одних только энергетических соображений и оказалась совершенно правильной. По современным представлениям, при массе ядра менее 0,1 M s нейтроны стали бы превращаться в протоны посредством бета-распада. Новорожденные протоны сливались бы с нейтронами, образуя сильно нейтроноизбыточные и потому крайне нестабильные атомные ядра. В результате, если бы нейтронная звезда каким-либо образом похудела настолько, что ее масса упала ниже 0,1 M s , она исчезла бы в ядерном взрыве. За эту информацию я очень благодарен доктору ф.-м. наук А. Ю. Потехину.

Ландау вскоре после публикации статьи в Nature был арестован и год провел в заключении. К своей модели нейтронного ядра как источника звездной энергии он больше никогда не возвращался - скорее всего потому, что ко времени его освобождения в апреле 1939 года было уже ясно, что звезды главной последовательности питаются энергией термоядерного синтеза. Возможно, будет нелишним напомнить, что Сербер в военные годы стал одним из главных участников возглавлявшегося Оппенгеймером Манхеттенского проекта, и это именно он придумал имена для атомных бомб «Малыш» (Little Boy) и «Толстяк» (Fat Man), cброшенных 6 и 9 августа 1945 года на Хиросиму и Нагасаки.

Возврат к Шварцшильду: первые шаги

Поскольку гипотеза Цвикки и Бааде все же никуда не делась, возник естественный вопрос: существует ли верхний предел массы для тех сверхновых, которые предположительно оставляют после себя нейтронные звезды (напомню, что Ландау говорил не о верхнем, а о нижнем пределе массы нейтронных ядер обычных звезд)? Иными словами, существует ли верхний предел массы гипотетических нейтронных звезд подобно тому, как он существует для белых карликов? При этом было понятно, что нейтронные звезды, если они действительно рождаются в космическом пространстве, по плотности неизмеримо превосходят белые карлики. В 1937 году Георгий Гамов оценил максимальную плотность нейтронного вещества в 10 17 кг/м 3 (G. Gamow, 1937. Structure of Atomic Nuclei and Nuclear Transformations ; G. Gamov, 1939. Physical Possibilities of Stellar Evolution), что на 9 порядков больше плотности массы типичного белого карлика. Его результат вполне выдержал проверку наблюдениями: измеренные плотности нейтронных звезд варьируют в диапазоне (4–6)·10 17 кг/м 3 . В той же монографии Гамов, вспомнив опубликованную в 1932 году гипотезу Ландау, отметил, что нейтронные ядра могли бы обеспечить активную жизнь звезды «на очень долгое время», хотя в то время такая точка зрения была уже анахронизмом.

В 1939 году эту проблему попытались разрешить Роберт Оппенгеймер и его канадский аспирант Джордж Майкл Волков (George Michael Volkoff), москвич по рождению и в прежней жизни Георгий Михайлович. Их совместная статья (J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, 1939. On Massive Neutron Cores) заслуженно считается одним из самых ярких достижений теоретической астрофизики первой половины двадцатого века. И это несмотря на то, что полученная в ней оценка верхнего предела массы нейтронных остатков массивных звезд оказалась сильно заниженной.

Можно было бы ожидать, что Оппенгеймер, ставя эту задачу, хотел прояснить применимость гипотезы Бааде и Цвикки. Однако если у него и было такое намерение, он сделал все, что его скрыть. В статье, о которой идет речь, вообще нет ссылок ни на одну публикацию этих исследователей. Что и неудивительно. Оппенгеймер тогда был профессором физики Калифорнийского университета в Беркли, однако регулярно наезжал в Калтех, где работал Цвикки. Не секрет, что Оппенгеймер на дух не переносил Цвикки как человека и не доверял ему как ученому (и такое отношение в обоих планах разделяли многие современники). Так что Оппенгеймер и Волков ограничились нейтральной фразой: «Была предположена возможность того, что в центральных областях достаточно массивных звезд, истощивших термоядерные источники энергии, формируются сильно сжатые нейтронные ядра» (стр. 475). В качестве одного из источников этой гипотезы они назвали недавнюю публикацию Ландау в Nature , в то время как Бааде и Цвикки проходят всего лишь по разряду «и другие» (Ibid). Они также сослались на вышеупомянутое сообщение Оппенгеймера и Сербера, точнее, на их оценку минимальной массы нейтронного ядра в 0,1 M s .

А дальше начинается самое интересное. Оппенгеймер и Волков работали с моделью вырожденного холодного нейтронного ферми-газа со сферически симметричным распределением частиц. В этом плане их подход вполне аналогичен подходу Андерсона, Стоунера, Чандрасекара и Ландау, которые делали вычисления на базе модели вырожденного релятивистского электронного газа. Оппенгеймер и Волков специально подчеркнули, что если непосредственно взять из статьи Ландау 1932 года формулу для максимальной массы звезды, состоящей из такого газа (напомню, что это точный аналог формулы Чандрасекара) и просто заменить там электроны нейтронами, верхний предел массы звезды составит примерно 6 солнечных масс, что и в самом деле вычисляется совершенно элементарно. Однако дальше соавторы указывают, что такой подход был бы ошибочен, причем по двум причинам. Для получения правильного результата необходимо учесть неньютоновский характер тяготения гипотетического нейтронного ядра с его гигантской гравитацией. Кроме того, нельзя заранее предполагать, что нейтронный газ будет релятивистски вырожденным во всем объеме звезды. «Настоящее исследование ставит своей целью выяснить, какие отличия в результаты вычислений внесет использование как общей теории относительности вместо ньютоновской теории гравитации, так и более точного уравнения состояния» (стр. 575).

Для решения этой задачи Оппенгеймер и Волков провели расчеты на основе общего статического решения полевых уравнений Эйнштейна для сферически симметричного распределения вещества и, в частности, решения Шварцшильда, которое описывает метрику пустого пространства, окружающего это вещество. Они также предположили, что вещество состоит из квантовых частиц, подчиняющихся статистике Ферми - Дирака , чьей тепловой энергией и негравитационными взаимодействиями можно пренебречь. Приравняв массу частиц этого холодного ферми-газа массе нейтронов и проведя приближенное численное интегрирование полученных уравнений, Оппенгеймер и Волков пришли к выводу, что массы нейтронных ядер звезд, которые полностью использовали свои термоядерные энергетические ресурсы, не могут превышать 70% солнечной массы.

Давно известно, что эта первая оценка максимальной массы нейтронных ядер оказалась сильно заниженной. Позднейшее моделирование показало, что массы нейтронных звезд должны лежать в интервале (1,5–3)·M s ; массы реально наблюдавшихся нейтронных звезд составляют от полутора до двух солнечных масс. Причина этой ошибки также понятна. В конце 1930-х годов еще не существовало развернутой теории ядерных сил, которая позволила бы написать хотя бы приближенные уравнения состояния материи при сверхвысоких плотностях и давлениях. Сейчас известно, что в этой области действуют мощные ядерные силы отталкивания, которые и увеличивают нижний предел масс нейтронных звезд по сравнению с моделью Оппенгеймера-Волкова.

Сравнение оценки Оппенгеймера-Волкова с пределом Чандраксекара очевидным образом создавало малоприятную проблему, которую они сами прекрасно поняли и прокомментировали. Если давление вырожденного релятивистского электронного газа способно сопротивляться гравитационному коллапсу звезд с массой вплоть до почти что полутора масс Солнца, то совершенно непонятно, как могла бы возникнуть нейтронная звезда, коль скоро ее масса не может превышать 0,7 M s . Оппенгеймер и Волков обошли эту трудность, предположив, что нейтронные ядра могут быть сколь угодно массивными, если разность между плотностью материи и ее утроенным давлением принимает большие отрицательные значения (стр. 381). Сейчас мы знаем, что это допущение не оправдалось, и верхний предел масс нейтронных звезд все же существует. Оппенгеймер и Волков также высказали почти что уверенность, что учет ядерных сил взаимного отталкивания не позволит существенно повысить вычисленный ими верхний предел масс нейтронных ядер - и в этом они тоже оказались неправы.

Разумеется, все это ни в коем случае не уменьшает значения работы Оппенгеймера и Волкова. Они действовали на совершенно неизведанной территории, причем практически в одиночку, если не считать неформального содействия профессора Калтеха Ричарда Толмена (Richard Tolman). Демонстрация, пусть и на упрощенной модели, существования верхнего предела масс нейтронных звезд была результатом первостепенной важности. Этот результат позволял предположить, что самые массивные потомки сверхновых не становятся нейтронными звездами, а переходят в какое-то другое состояние.

На этом стоит остановиться поподробней. Оппенгеймер, Волков и Толмен получили уравнение для радиального градиента давления вещества внутри сжимающейся звезды. Образно выражаясь, оно показывает, каким образом звезда сопротивляется сжатию, увеличивая внутреннее давление. Однако в ОТО, в отличие от ньютоновской механики, давление само служит фактором искривления пространства-времени и тем самым источником поля тяготения. Поэтому гравитация внутри звезды может нарастать настолько быстро, что коллапс делается необратимым. Это следствие уравнения Толмена - Оппенгеймера - Волкова сейчас кажется очень прозрачным, однако авторы его не проследили.

В том же 1939 году Оппенгеймер и еще один его аспирант Хартланд Снайдер (Hartland Snyder) вплотную приблизились к описанию такого финала (J. R. Oppenheimer and H. Snyder, 1939. On Continued Gravitational Contraction). Они рассмотрели процесс гравитационного сжатия строго сферического невращающегося пылевого облака с постоянной плотностью - опять-таки, с явным использованием шварцшильдовской метрики. Конечно, это была максимально упрощенная модель космического вещества. Частички пылевидной материи по определению взаимодействуют друг с другом исключительно посредством взаимного притяжения (следовательно, давление в таком облаке равно нулю) и потому движутся по геодезическим мировым линиям; кроме того, такая система не имеет термодинамических характеристик. Однако более реалистических расчетов на базе общей теории относительности тогда было просто не потянуть, в чем авторы статьи и признались. Тем не менее, они отметили, что найденное ими решение, скорее всего, приблизительно отражает основные черты процесса гравитационного сжатия реальной звезды достаточно большой массы, которая полностью сожгла свое термоядерное топливо (стр. 457).

Для получения аналитического решения уравнений ОТО Оппенгеймер и Снайдер перешли к сопутствующим координатам, в которых тензор энергии-импульса в данном случае имеет единственную ненулевую компоненту \(T_4^4 \), равную плотности вещества. На основе своей - повторю, сильно идеализированной - модели они пришли к заключению, что достаточно массивная звезда, успевшая сжечь термоядерное топливо, в ходе последующего сжатия стягивается к своему гравитационному радиусу. Этот процесс занимает бесконечно большое время с точки зрения удаленного наблюдателя, но может быть очень коротким для наблюдателя, который движется вместе со стягивающейся звездной материей. Например, согласно их вычислениям, гравитационный коллапс облака с первоначальной плотностью 1 г/см 3 и общей массой 10 33 г (следовательно, с радиусом порядка миллиона километров) с точки зрения такого наблюдателя займет всего лишь одни земные сутки. Приближаясь к гравитационному радиусу, «звезда полностью изолирует себя от любых контактов с удаленным наблюдателем; сохраняется только ее гравитационное поле» (стр. 456).

Из уравнений Оппенгеймера и Снайдера почти однозначно следует, что звезда по достижении гравитационного радиуса не останавливается и продолжает сжиматься к состоянию с бесконечно малым объемом и бесконечно высокой плотностью. Соавторы все же воздержались от столь радикального вывода и даже не предложили его в качестве гипотезы. К сожалению, тогда их замечательная работа не вызвала особого интереса - возможно, отчасти и потому, что ее публикация в точности совпала по дате с началом Второй мировой войны (1 сентября 1939 года). К тому же в то время физики и астрономы мало интересовались ОТО и плохо ее знали. Кажется, единственным физиком-теоретиком экстра-класса, который без задержки оценил ее по достоинству, был Ландау.

Чуть раньше Оппенгеймера и Снайдера проблеме гравитационного коллапса сферически симметричной системы невзаимодействующих частиц уделил внимание и сам Эйнштейн (Albert Einstein, 1939. Stationary System with Spherical Symmetry Consisting of Many Gravitating Masses). Эта статья, которую он представил к публикации за два месяца до них, оказалась неудачной. Эйнштейн не верил в шварцшильдовскую сингулярность, возникающую вблизи гравитационного радиуса, и потому постарался доказать, что она физически недостижима. Он использовал метрику Шварцшильда (правда, в нестандартной записи), однако сделал совершенно искусственное допущение, что все частицы движутся вокруг центра симметрии по круговым орбитам. Его вычисления показали, что рост массы такой системы приводит к увеличению центробежных сил, и это не позволяет ей сжиматься далее определенного предела. В итоге Эйнштейн с явным удовлетворением констатировал, что «сингулярность Шварцшильда не существует в физической реальности» (стр. 936). Он полагал, что этот вывод имеет общий характер, не ограниченный спецификой модели, в чем сильно ошибся. Некоторые историки науки вообще считают эту статью худшей из эйнштейновских научных работ. Насколько я знаю, история умалчивает о том, ознакомился ли Эйнштейн с моделью Оппенгеймера - Снайдера, и если да, то как он ее оценил.

Замечательные исследования Оппенгеймера - Волкова и Оппенгеймера - Снайдера стоят в начале долгой и славной истории приложения шварцшильдовского решения уравнений ОТО к анализу конкретных астрофизических моделей. Новые шаги в этом направлении были сделаны уже в послевоенное время, и их описание выходит за рамки моей статьи.

Поэтому ограничусь предельно кратким резюме. Физическая реальность черных дыр стала постепенно признаваться после открытия квазаров в конце 1950-х - начале 1960-х годов. Окончательное решение проблемы тотального коллапса очень массивных звезд, исчерпавших свое ядерное топливо, было найдено во второй половине ХХ века усилиями плеяды блестящих физиков-теоретиков, в том числе и советских, в основном, из группы Я. Б. Зельдовича . Оказалось, что подобный коллапс всегда сжимает звезду «до упора», полностью разрушая ее вещество и порождая черную дыру. Внутри дыры возникает сингулярность, «суперконцентрат» гравитационного поля, замкнутый в бесконечно малом объеме. У статичной дыры это точка, у вращающейся - кольцо. Кривизна пространства-времени и, следовательно, сила тяготения вблизи сингулярности стремятся к бесконечности (конечно, речь идет об описании на базе ОТО, которое не учитывает квантовых эффектов). Математическая теория черных дыр хорошо разработана и очень красива - и вся она исторически восходит к решению Шварцшильда.

Дополнение: автора, автора!

Официальным отцом термина «черная дыра» считается профессор Принстонского университета Джон Арчибальд Уилер (John Archibald Wheeler). В начале 1950-х годов он переключился с ядерной физики на ОТО и очень много сделал для превращения этих исследований в серьезную и быстро растущую область на стыке фундаментальной физики, астрофизики и космологии. Достоверно известно, что он говорил о черных дырах 29 декабря 1967 года, выступая на ежегодной конференции Американской ассоциации в поддержку науки (не исключено, что это выражение и до того несколько раз проскальзывало в его публичных лекциях). Вскоре его выступление появилось в печати (John Archibald Wheeler, 1968. Our Universe: The Known and the Unknown). Эффектное и запоминающееся название возникло очень вовремя, поскольку почти совпало по времени с первым сообщением об открытии радиопульсаров (A. Hewish et al., ). Оно полюбилось физикам и привело в восторг журналистов, которые разнесли его по всему миру.

Хотя Уилер бесспорно ввел термин «черная дыра» как в язык физики, так и в массовое обращение, изобрели его все же другие. Его этимология подробно разобрана в новой книге профессора MIT Марсии Бартусяк (Marcia Bartusiak , 2015. Black Hole: How an Idea Abandoned by Newtonians, Hated by Einstein, and Gambled on by Hawking Became Loved , стр. 137-141). Согласно ее разысканиям, уже в 1960 году коллега Уилера по физическому факультету Принстонского университета Роберт Дикке (Robert Dicke), который в начале второй половины прошлого века тоже занялся гравитацией, выступая на коллоквиуме в Институте продвинутых исследований, в шутку сравнил коллапс массивной звезды с «Калькуттской черной ямой» (Black Hole of Calcutta). В середине XVIII столетия так стали называть небольшую тюремную камеру в форте Уильям, который построила в Калькутте британская Ост-Индская Компания. В июне 1756 года новый правитель Бенгалии, Бихара и Ориссы Сирадж-уд-Дауда захватил форт Уильям и уморил в этой камере несколько десятков пленных англичан, которые погибли от удушья или теплового удара. С того времени выражение black hole закрепилось в английском языке как символ чего-то, откуда нет возврата. В этом смысле его и употребил Роберт Дикке.

Как говорится, лиха беда начало. Шуточному выражению Дикке была суждена долгая и почетная жизнь в совершенно новом значении. Название «черная дыра» несколько раз прозвучало в кулуарах Первого Техасского симпозиума по релятивистской астрофизике, который состоялся в Далласе в декабре 1963 года. Вскоре его использовал научный редактор журнала Life Альберт Розенфельд, который опубликовал репортаж об этой встрече. Его первое появление в научной печати имело место 18 января 1964 года, когда в журнале Science News Letters была помещена заметка о встрече астрономов на ежегодной сессии Американской Ассоциации в поддержку науки, которая прошла в конце декабря в Кливленде. Согласно автору заметки Энн Эвинг, это выражение не раз употреблял физик из Института Годдарда Хонг-И Чиу (Hong-Yee Chiu), который признался, что впервые услышал его от Дикке парой лет раньше. Так что пальма первенства в именовании полностью сколлапсировавших звезд черными дырами скорее всего принадлежит Роберту Дикке. Интересно, что Чиу в 1964 году и сам придумал новый астрофизический термин, а именно «квазар».

В общем, выражение «черная дыра» как название финальной стадии гравитационного коллапса самых массивных звезд эпизодически использовалось и до Уилера. Такова реальная история.

Дополнение: постсолнечный карлик

Если бы наша Галактика была обречена на одиночное путешествие по Космосу, этот прогноз имел бы стопроцентную достоверность. Однако через 4 миллиарда лет Млечный Путь встретится и сольется с соседней Андромедой, образовав новую гигантскую галактику. В еще более отдаленном будущем ей суждено объединение с галактикой М33, она же галактика Треугольника . Нельзя заранее исключить того, что в этой звездной ассоциации ставшее белым карликом Солнце окажется членом тесной бинарной системы, имея в качестве партнера звезду главной последовательности или красный гигант. Если ее вещество начнет перетекать на поверхность Солнца, может случиться так, что Солнце или станет новой звездой , или даже превратится в сверхновую типа Ia и полностью исчезнет в чудовищном по силе взрыве. Однако, насколько можно судить, вероятность такого исхода очень мала, так что стандартный сценарий имеет все шансы на осуществление.

Алексей Левин

Гравитация [От хрустальных сфер до кротовых нор] Петров Александр Николаевич

Решение Шварцшильда

Решение Шварцшильда

Для того чтобы обсудить многие эффекты ОТО, необходимо познакомиться с одним из самых важных решений (а возможно, и самым важным) уравнений ОТО – решением немецкого астронома Карла Шварцшильда (1873–1916). Оно получено в 1916 году, всего лишь через несколько месяцев после публикации Эйнштейном своих уравнений гравитационного поля. Это решение соответствует статическому сферически симметричному вакуумному пространству-времени. (О вакуумных решениях уравнений Эйнштейна см. Дополнение 4.) Слова, выделенные курсивом – это условия (ограничения), при которых искалось решение. Эти же условия определяют, чему в реальности должно соответствовать найденное решение – это пространство-время вокруг изолированного сферически симметричного тела. «Изолированного» – это в идеале, а в реальности – вокруг тела, достаточно удаленного от всех остальных тел. Таким образом, в очень хорошем приближении это решение описывает и гравитационное поле вокруг Солнца и каждой из планет Солнечной системы, шаровых звездных скоплений. Поэтому с использованием именно этого решения были проверены первые эффекты ОТО.

Решение Шварцшильда в математическом плане простое, поэтому мы немного с ним повозимся. Собственно, решением уравнений явилась метрика:

Здесь также в силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. C – постоянная интегрирования, без дополнительных предположений или принципов ее определить невозможно. Здесь самое время обратиться к принципу соответствия. При «бесконечном» удалении от центра r ? ? эта метрика обращается в метрику пространства Минковского в сферических координатах, точно так же, как и метрика пространства-времени Ньютона, которую мы уже обсуждали. Значит, на достаточном удалении нам необходимо сравнить новую метрику с метрикой пространства-времени Ньютона, обсуждавшейся в предыдущей главе. При аккуратной процедуре приближения оказывается, что здесь основное возмущение в метрику плоского мира вносится только первым слагаемым в выражении для интервала. Нужно сравнить его с аналогичным членом в метрике Ньютона. Это нам даст C = –2GM /c 2 , после чего метрика Шварцшильда запишется в окончательном виде:

где величина r g = 2GM /c 2 называется гравитационным радиусом . Мы так подробно обсуждаем решение Шварцшильда потому, что это еще и базовое решения для черных дыр, речь о которых впереди. Также потом мы обсудим смысл гравитационного радиуса. А сейчас важно отметить, что появился параметр, определяющий решение , – это масса тела M , обращение в нуль этого параметра превращает решение Шварцшильда в метрику плоского мира.

Из книги Новейшая книга фактов. Том 3 [Физика, химия и техника. История и археология. Разное] автора Кондрашов Анатолий Павлович

Из книги Пять нерешенных проблем науки автора Уиггинс Артур

Решение головоломки: как, кто, где и когда? Как. По сути, мы до сих пор не знаем, как исходные кирпичики Вселенной обрели свою массу, и у нас даже нет уверенности, что мы установили все эти кирпичики. И все же мы располагаем теоретическими и опытными возможностями для

Из книги «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» автора Фейнман Ричард Филлипс

Решение головоломки: как, кто и почему? Как. Рассмотрим с позиции научного метода две основные, допускающие проверку гипотезы о происхождении жизни на Земле.Гипотеза 1Панспермия Хойла - Викрамасингха.Предсказание: если бактерии обитают на ядрах комет, то жизнь или по

Из книги История лазера автора Бертолотти Марио

Решение головоломки: почему, как, кто и где, когда? Почему.Протеомика дает возможность создавать новые, более действенные лекарства и диагностические средства. Однако число пар азотистых оснований, генов и белков, с которыми приходится иметь дело, ставит трудную задачу

Из книги Распространненость жизни и уникальность разума? автора Мосевицкий Марк Исаакович

Решение головоломки: где, когда, как и кто? С точки зрения теории существует несколько возможностей учета темной энергии:? Возвращение космологической постоянной Эйнштейна. Будет забавно, если окажется невозможным обойтись без «самой крупной ошибки» Эйнштейна. Ведь

Из книги Гравитация [От хрустальных сфер до кротовых нор] автора Петров Александр Николаевич

Из книги автора

ГЛАВА 14 РЕШЕНИЕ В ПОИСКЕ ПРОБЛЕМЫ ИЛИ МНОГИЕ ПРОБЛЕМЫ С ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ РЕШЕНИЕМ? ПРИМЕНЕНИЯ ЛАЗЕРОВ В 1898 г. г. Уэллс вообразил в своей книге «Война миров» захват Земли марсианами, которые использовали лучи смерти, способные без труда проходить через кирпичи, сжигать леса, и

Из книги автора

Из книги автора

Снова решение Шварцшильда Пример невидимой звезды Мичелла-Лапласа, хотя и основан на теории, которая не в состоянии дать правильные решения для реальных черных дыр со всем многообразием эффектов и необычных свойств, демонстрирует самое главное их свойство. Черная дыра

Из книги автора

4. Решение уравнений Эйнштейна Но если есть уравнения, значит их нужно решать. То есть при ограничениях и условиях каждой конкретной задачи или модели нужно найти метрические коэффициенты в каждой точке пространства-времени и тем самым определить его геометрические

· Гравитационная сингулярность · Чёрная дыра

Развитие теории
Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы - Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории

Решения
Точные решения:

Известные учёные
Эйнштейн · Минковский · Шварцшильд · Леметр · Эддингтон · Фридман · Фок · Керр · Чандрасекар · Пенроуз Хокинг и другие…

См. также: Портал:Физика

Ме́трика Шва́рцшильда - это единственное в силу теоремы Биркхофа сферически симметричное точное решение уравнений Эйнштейна без космологической константы в пустом пространстве. В частности, эта метрика достаточно точно описывает гравитационное поле уединённой невращающейся и незаряженной чёрной дыры и гравитационное поле снаружи от уединённого сферически симметричного массивного тела. Названа в честь Карла Шварцшильда , который первым её обнаружил в 1916 году .

Это решение необходимо является статическим, так что сферические гравитационные волны оказываются невозможными.

Вид метрики

Шварцшильдовские координаты

В так называемых Шварцшильдовских координатах $(t,\backslash ;r,\backslash ;\backslash theta,\backslash ;\backslash varphi)$, из которых 3 последних аналогичны сферическим , метрический тензор наиболее физически важной части пространства-времени Шварцшильда с топологией $R^2\backslash times\; S^2$ (произведение области двумерного евклидова пространства и двумерной сферы) имеет вид

Координата $r$ не является длиной радиус-вектора, а вводится так, чтобы площадь сферы $t=\backslash mathrm\{const\},\backslash ;\; r=r\_0$ в данной метрике была равна $4\backslash pi\; r\_0^2$. При этом «расстояние» между двумя событиями с разными $r$ (но одинаковыми остальными координатами) даётся интегралом

$\backslash int\backslash limits\_\{r\_1\}^\{r\_2\}\backslash frac\{dr\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash displaystyle\backslash frac\{r\_s\}\{r\}\}\}>r\_2-r\_1,\backslash qquad\; r\_2,\backslash ;r\_1>r\_s.$

При $M\backslash to\; 0$ или $r\backslash to\backslash infty$ метрика Шварцшильда стремится (покомпонентно) к метрике Минковского в сферических координатах, так что вдали от массивного тела $M$ пространство-время оказывается приблизительно псевдоевклидовым сигнатуры $(1,3)$. Так как $g\_\{0\; 0\}=1-\backslash frac\{r\_s\}\{r\}\backslash leqslant\; 1$ при $r>r\_s$ и $g\_\{0\; 0\}$ монотонно возрастает с ростом $r$, то собственное время в точках вблизи тела «течёт медленнее», чем вдалеке от него, то есть происходит своеобразное гравитационное замедление времени массивными телами.

Дифференциальные характеристики

Обозначим

$g\_\{0\; 0\}=e^\backslash nu,\backslash quad\; g\_\{1\; 1\}=-e^\backslash lambda.$

Тогда не равные нулю независимые символы Кристоффеля имеют вид

$\backslash Gamma^1\_\{1\; 1\}=\backslash frac\{\backslash lambda^\backslash prime\_r\}\{2\},\backslash quad\backslash Gamma^0\_\{1\; 0\}=\backslash frac\{\backslash nu^\backslash prime\_r\}\{2\},\backslash quad\backslash Gamma^2\_\{3\; 3\}\; =\; -\backslash sin\backslash theta\backslash cos\backslash theta,$ $\backslash Gamma^0\_\{1\; 1\}=\backslash frac\{\backslash lambda^\backslash prime\_t\}\{2\}e^\{\backslash lambda-\backslash nu\},\backslash quad\backslash Gamma^1\_\{2\; 2\}=-re^\{-\backslash lambda\},\backslash quad\backslash Gamma^1\_\{0\; 0\}=\backslash frac\{\backslash nu^\backslash prime\_r\}\{2\}e^\{\backslash nu-\backslash lambda\},$ $\backslash Gamma^2\_\{1\; 2\}=\backslash Gamma^3\_\{1\; 3\}=\backslash frac\{1\}\{r\},\backslash quad\backslash Gamma^3\_\{2\; 3\}=\backslash operatorname\{ctg\}\backslash ,\backslash theta,\backslash quad\backslash Gamma^0\_\{0\; 0\}=\backslash frac\{\backslash nu^\backslash prime\_t\}\{2\},$ $\backslash Gamma^1\_\{1\; 0\}=\backslash frac\{\backslash lambda^\backslash prime\_t\}\{2\},\backslash quad\backslash Gamma^1\_\{3\; 3\}=-r\backslash sin^2\backslash theta\backslash ,e^\{-\backslash lambda\}.$ $I\_1=\backslash left(\backslash frac\{r\_s\}\{2r^3\}\backslash right)^2,\backslash quad\; I\_2=\backslash left(\backslash frac\{r\_s\}\{2r^3\}\backslash right)^3.$

Тензор кривизны относится к типу $\backslash mathbf\{D\}$ по Петрову .

Дефект массы

Если имеется сферически симметричное распределение материи «радиуса» (с точки зрения координат) $a$, то полная масса тела может быть выражена через его тензор энергии-импульса по формуле

$m\; =\backslash frac\{4\backslash pi\}\{c^2\}\backslash int\backslash limits\_0^a\; T\_0^0\; r^2\backslash ,dr.$

В частности, для статического распределения вещества $T\_0^0=\backslash varepsilon$, где $\backslash varepsilon$ - плотность энергии в пространстве. Учитывая, что объём шарового слоя в выбранных нами координатах равен

$dV=4\backslash pi\; r^2\backslash sqrt\{g\_\{1\; 1\}\}\backslash ,dr>4\backslash pi\; r^2\backslash ,dr,$

получим, что

Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела . Можно сказать, что часть полной энергии системы содержится в энергии гравитационного поля, хотя локализовать эту энергию в пространстве невозможно.

Особенность в метрике

На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при $r=0$ и при $r=r\_s$. Действительно, в Шварцшильдовских координатах частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время $t$ для достижения поверхности $r=r\_s$, однако переход, например, к координатам Леметра в сопутствующей системе отсчёта показывает, что с точки зрения падающего наблюдателя никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, причём как сама поверхность, так и область $r\backslash approx\; 0$ будут достигнуты за конечное собственное время .

Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь при $r\backslash to\; 0$, где стремятся к бесконечности скалярные инварианты тензора кривизны . Эта особенность (сингулярность) не может быть устранена сменой системы координат.

Горизонт событий

Поверхность $r=r\_s$ называется горизонтом событий . При более удачном выборе координат, например в координатах Леметра или Крускала, можно показать, что никакие сигналы не могут выйти из чёрной дыры через горизонт событий. В этом смысле не удивительно, что поле вне Шварцшильдовской чёрной дыры зависит лишь от одного параметра - полной массы тела.

Координаты Крускала

Можно попытаться ввести координаты, не дающие сингулярности при $r=r\_s$. Таких координатных систем известно множество, и самой часто встречающейся из них является система координат Крускала, которая покрывает одной картой всё максимально продолженное многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна (без космологической постоянной). Это большее пространство-время $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ называется обычно (максимально продолженным) пространством Шварцшильда или (реже) пространством Крускала (Диаграмма Крускала - Секереша). Метрика в координатах Крускала имеет вид

$ds^2\; =-F(u,v)^2\; \backslash ,du\backslash ,dv+$

r^2(u,v)(d \theta^2+\sin^2\theta\, d\varphi^2),\qquad\qquad (2)

где $F=\backslash frac\{4\; r\_s^3\}\{r\}e^\{-r/r\_s\}$, а функция $r(u,v)$ определяется (неявно) уравнением $(1-r/r\_s)e^\{r/r\_s\}=uv$.

Пространство $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ максимально , то есть его уже нельзя изометрически вложить в большее пространство-время, а область $r>r\_s$ в координатах Шварцшильда ($\backslash mathcal\; M$) является всего лишь частью $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ (это область $v>0,\backslash \; r>r\_s$ - область I на рисунке). Тело, движущееся медленнее света - мировая линия такого тела будет кривой с углом наклона к вертикали меньше $45^\backslash circ$, см. кривую $\backslash gamma$ на рисунке - может покинуть $\backslash mathcal\; M$. При этом оно попадает в область II, где

В $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ есть ещё одна асимптотически плоская область III, в которой также можно ввести Шварцшильдовы координаты. Однако эта область причинно не связана с областью I, что не позволяет получить о ней никакой информации, оставаясь снаружи от горизонта событий. В случае реального коллапса астрономического объекта области IV и III просто не возникают, так как левую часть представленной диаграммы необходимо заменить на непустое пространство-время, заполненное коллапсирующей материей.

Отметим несколько замечательных свойств максимально продолженного Шварцшильдовского пространства $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$:

1. Оно сингулярно: координата $r$ наблюдателя, падающего под горизонт, уменьшается и стремится к нулю, когда его собственное время $\backslash tau$ стремится к некоторому конечному значению $\backslash tau\_0$. Однако его мировую линию нельзя продолжить в область $\backslash tau\; \backslash geqslant\backslash tau\_0$, так как точек с $r=0$ в этом пространстве нет. Таким образом, судьба наблюдателя нам известна только до некоторого момента его (собственного) времени.
2. Хотя пространство $\backslash mathcal\; M$ статично (видно, что метрика (1) не зависит от времени), пространство $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ таковым не является. Это формулируется более строго так: вектор Киллинга , являющийся из времениподобным в $\backslash mathcal\; M$, в областях II и IV расширенного пространства $\backslash tilde\{\backslash mathcal\; M\}$ становится пространственноподобным.
3. Область III тоже изометрична $\backslash mathcal\; M$. Таким образом, максимально продолженное пространство Шварцшильда содержит две «вселенные» - «нашу» (это $\backslash mathcal\; M$) и ещё одну такую же. Область II внутри чёрной дыры, соединяющая их, называется мостом Эйнштейна - Розена . Попасть во вторую вселенную наблюдатель, стартовавший из I и движущийся медленнее света, не сможет (см. рис. 1), однако в промежуток времени между пересечением горизонта и попаданием на сингулярность он сможет увидеть её. Такая структура пространства-времени, которая сохраняется и даже усложняется при рассмотрении более сложных чёрных дыр, породила многочисленные рассуждения на тему возможных «других» вселенных и путешествий в них через чёрные дыры как в научной литературе, так и в научно-фантастической (см. Кротовые норы).

Орбитальное движение

История получения и интерпретации

Метрика Шварцшильда, выступая как объект значительного теоретического интереса, для специалистов-теоретиков является также неким инструментом, с виду простым, но тем не менее сразу же приводящим к трудным вопросам.

В середине 1915 года Эйнштейн опубликовал предварительные уравнения теории гравитации $R\_\{ij\}=T\_\{ij\}$. Это были ещё не уравнения Эйнштейна, но они уже совпадали с окончательными в вакуумном случае $T\_\{ij\}=0$. Сферически-симметричные уравнения для вакуума Шварцшильд проинтегрировал в период с 18 ноября 1915 г. до конца года. 9 января 1916 г. Эйнштейн, к которому Шварцшильд обратился по поводу публикации своей статьи в «Berliner Berichte», написал ему, что «прочитал его работу с огромной страстью» и «был ошеломлён, что истинное решение этой проблемы можно выразить столь легко» - Эйнштейн исходно сомневался, возможно ли вообще получить решение таких сложных уравнений.

Шварцшильд закончил свою работу в марте, получив также сферически-симметричное статическое внутреннее решение для жидкости с постоянной плотностью. В это время на него навалилась болезнь (пузырчатка), которая в мае свела его в могилу. С мая 1916 г. И. Дросте, ученик Г. А. Лоренца, проводя исследования в рамках окончательных эйнштейновских уравнений поля, получил решение той же задачи более простым методом, чем Шварцшильд. Ему же принадлежит первая попытка анализа расходимости решения при стремлении к сфере Шварцшильда.

Вслед за Дросте большинство исследователей стали удовлетворяться различными соображениями, направленными на доказательство непроницаемости сферы Шварцшильда. При этом соображения теоретического характера подкреплялись физическим аргументом, согласно которому «такое в природе не существует», поскольку отсутствуют тела, атомы, звёзды, радиус которых был бы меньше шварцшильдовского радиуса.

Для К. Ланцоша, а также для Д. Гилберта сфера Шварцшильда стала поводом задуматься над понятием «сингулярность», для П. Пенлеве и французской школы она являлась объектом полемики, в которую включился Эйнштейн.

В ходе парижского коллоквиума 1922 г., организованного в связи с приездом Эйнштейна, речь зашла не только об идее, согласно которой радиус Шварцшильда не будет сингулярным, но также и о гипотезе, предвосхищающей то, что сегодня называют гравитационным коллапсом .

Искусная разработка Шварцшильда имела лишь относительный успех. Ни его метод, ни его интерпретация не были взяты на вооружение. Из его работы не сохранили почти ничего, кроме «голого» результата метрики, с которой связали имя её создателя. Но вопросы интерпретации и прежде всего вопрос «сингулярности Шварцшильда» тем не менее решены не были. Стала выкристаллизовываться точка зрения, что эта сингулярность не имеет значения. К этой точке зрения вели два пути: с одной стороны, теоретический, согласно которому «сингулярность Шварцшильда» непроницаема, и с другой стороны, эмпирический, состоящий в том, что «этого в природе не существует». Эта точка зрения распространилась и стала доминирующей во всей специальной литературе того времени.

Следующий этап связан с интенсивным исследованием вопросов гравитации в начале «золотого века» теории относительности.

Напишите отзыв о статье "Метрика Шварцшильда"

Литература

• K. Schwarzschild // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
  Рус. пер.: Шварцшильд К. О гравитационном поле точечной массы в эйнштейновской теории // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 199-207.
• Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. Теория поля. - Издание 7-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 512 с. - («Теоретическая физика », том II). - ISBN 5-02-014420-7 .
• Droste J. Het van een enkel centrum in Einstein s theorie der zwaartekracht en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
• Эйнштейн А. Памяти Карла Шварцшильда // Эйнштейн А. Собрание научных трудов. М.: Наука, 1967. Т. 4. С. 33-34.
• S. M. Blinder Centennial of General Relativity (1915-2015); The Schwarzschild Solution and Black Holes (англ.) . - 2015. - arXiv :1512.02061 .

См. также

Ссылки

Типы Размеры Образование Свойства Модели Теории Точные решения в ОТО Связанные темы

Отрывок, характеризующий Метрика Шварцшильда

Москва, 3 октября, 1812.
Наполеон. ]

«Je serais maudit par la posterite si l"on me regardait comme le premier moteur d"un accommodement quelconque. Tel est l"esprit actuel de ma nation», [Я бы был проклят, если бы на меня смотрели как на первого зачинщика какой бы то ни было сделки; такова воля нашего народа. ] – отвечал Кутузов и продолжал употреблять все свои силы на то, чтобы удерживать войска от наступления.
В месяц грабежа французского войска в Москве и спокойной стоянки русского войска под Тарутиным совершилось изменение в отношении силы обоих войск (духа и численности), вследствие которого преимущество силы оказалось на стороне русских. Несмотря на то, что положение французского войска и его численность были неизвестны русским, как скоро изменилось отношение, необходимость наступления тотчас же выразилась в бесчисленном количестве признаков. Признаками этими были: и присылка Лористона, и изобилие провианта в Тарутине, и сведения, приходившие со всех сторон о бездействии и беспорядке французов, и комплектование наших полков рекрутами, и хорошая погода, и продолжительный отдых русских солдат, и обыкновенно возникающее в войсках вследствие отдыха нетерпение исполнять то дело, для которого все собраны, и любопытство о том, что делалось во французской армии, так давно потерянной из виду, и смелость, с которою теперь шныряли русские аванпосты около стоявших в Тарутине французов, и известия о легких победах над французами мужиков и партизанов, и зависть, возбуждаемая этим, и чувство мести, лежавшее в душе каждого человека до тех пор, пока французы были в Москве, и (главное) неясное, но возникшее в душе каждого солдата сознание того, что отношение силы изменилось теперь и преимущество находится на нашей стороне. Существенное отношение сил изменилось, и наступление стало необходимым. И тотчас же, так же верно, как начинают бить и играть в часах куранты, когда стрелка совершила полный круг, в высших сферах, соответственно существенному изменению сил, отразилось усиленное движение, шипение и игра курантов.

Русская армия управлялась Кутузовым с его штабом и государем из Петербурга. В Петербурге, еще до получения известия об оставлении Москвы, был составлен подробный план всей войны и прислан Кутузову для руководства. Несмотря на то, что план этот был составлен в предположении того, что Москва еще в наших руках, план этот был одобрен штабом и принят к исполнению. Кутузов писал только, что дальние диверсии всегда трудно исполнимы. И для разрешения встречавшихся трудностей присылались новые наставления и лица, долженствовавшие следить за его действиями и доносить о них.
Кроме того, теперь в русской армии преобразовался весь штаб. Замещались места убитого Багратиона и обиженного, удалившегося Барклая. Весьма серьезно обдумывали, что будет лучше: А. поместить на место Б., а Б. на место Д., или, напротив, Д. на место А. и т. д., как будто что нибудь, кроме удовольствия А. и Б., могло зависеть от этого.
В штабе армии, по случаю враждебности Кутузова с своим начальником штаба, Бенигсеном, и присутствия доверенных лиц государя и этих перемещений, шла более, чем обыкновенно, сложная игра партий: А. подкапывался под Б., Д. под С. и т. д., во всех возможных перемещениях и сочетаниях. При всех этих подкапываниях предметом интриг большей частью было то военное дело, которым думали руководить все эти люди; но это военное дело шло независимо от них, именно так, как оно должно было идти, то есть никогда не совпадая с тем, что придумывали люди, а вытекая из сущности отношения масс. Все эти придумыванья, скрещиваясь, перепутываясь, представляли в высших сферах только верное отражение того, что должно было совершиться.
«Князь Михаил Иларионович! – писал государь от 2 го октября в письме, полученном после Тарутинского сражения. – С 2 го сентября Москва в руках неприятельских. Последние ваши рапорты от 20 го; и в течение всего сего времени не только что ничего не предпринято для действия противу неприятеля и освобождения первопрестольной столицы, но даже, по последним рапортам вашим, вы еще отступили назад. Серпухов уже занят отрядом неприятельским, и Тула, с знаменитым и столь для армии необходимым своим заводом, в опасности. По рапортам от генерала Винцингероде вижу я, что неприятельский 10000 й корпус подвигается по Петербургской дороге. Другой, в нескольких тысячах, также подается к Дмитрову. Третий подвинулся вперед по Владимирской дороге. Четвертый, довольно значительный, стоит между Рузою и Можайском. Наполеон же сам по 25 е число находился в Москве. По всем сим сведениям, когда неприятель сильными отрядами раздробил свои силы, когда Наполеон еще в Москве сам, с своею гвардией, возможно ли, чтобы силы неприятельские, находящиеся перед вами, были значительны и не позволяли вам действовать наступательно? С вероятностию, напротив того, должно полагать, что он вас преследует отрядами или, по крайней мере, корпусом, гораздо слабее армии, вам вверенной. Казалось, что, пользуясь сими обстоятельствами, могли бы вы с выгодою атаковать неприятеля слабее вас и истребить оного или, по меньшей мере, заставя его отступить, сохранить в наших руках знатную часть губерний, ныне неприятелем занимаемых, и тем самым отвратить опасность от Тулы и прочих внутренних наших городов. На вашей ответственности останется, если неприятель в состоянии будет отрядить значительный корпус на Петербург для угрожания сей столице, в которой не могло остаться много войска, ибо с вверенною вам армиею, действуя с решительностию и деятельностию, вы имеете все средства отвратить сие новое несчастие. Вспомните, что вы еще обязаны ответом оскорбленному отечеству в потере Москвы. Вы имели опыты моей готовности вас награждать. Сия готовность не ослабнет во мне, но я и Россия вправе ожидать с вашей стороны всего усердия, твердости и успехов, которые ум ваш, воинские таланты ваши и храбрость войск, вами предводительствуемых, нам предвещают».
Но в то время как письмо это, доказывающее то, что существенное отношение сил уже отражалось и в Петербурге, было в дороге, Кутузов не мог уже удержать командуемую им армию от наступления, и сражение уже было дано.
2 го октября казак Шаповалов, находясь в разъезде, убил из ружья одного и подстрелил другого зайца. Гоняясь за подстреленным зайцем, Шаповалов забрел далеко в лес и наткнулся на левый фланг армии Мюрата, стоящий без всяких предосторожностей. Казак, смеясь, рассказал товарищам, как он чуть не попался французам. Хорунжий, услыхав этот рассказ, сообщил его командиру.
Казака призвали, расспросили; казачьи командиры хотели воспользоваться этим случаем, чтобы отбить лошадей, но один из начальников, знакомый с высшими чинами армии, сообщил этот факт штабному генералу. В последнее время в штабе армии положение было в высшей степени натянутое. Ермолов, за несколько дней перед этим, придя к Бенигсену, умолял его употребить свое влияние на главнокомандующего, для того чтобы сделано было наступление.
– Ежели бы я не знал вас, я подумал бы, что вы не хотите того, о чем вы просите. Стоит мне посоветовать одно, чтобы светлейший наверное сделал противоположное, – отвечал Бенигсен.
Известие казаков, подтвержденное посланными разъездами, доказало окончательную зрелость события. Натянутая струна соскочила, и зашипели часы, и заиграли куранты. Несмотря на всю свою мнимую власть, на свой ум, опытность, знание людей, Кутузов, приняв во внимание записку Бенигсена, посылавшего лично донесения государю, выражаемое всеми генералами одно и то же желание, предполагаемое им желание государя и сведение казаков, уже не мог удержать неизбежного движения и отдал приказание на то, что он считал бесполезным и вредным, – благословил совершившийся факт.

Записка, поданная Бенигсеном о необходимости наступления, и сведения казаков о незакрытом левом фланге французов были только последние признаки необходимости отдать приказание о наступлении, и наступление было назначено на 5 е октября.
4 го октября утром Кутузов подписал диспозицию. Толь прочел ее Ермолову, предлагая ему заняться дальнейшими распоряжениями.
– Хорошо, хорошо, мне теперь некогда, – сказал Ермолов и вышел из избы. Диспозиция, составленная Толем, была очень хорошая. Так же, как и в аустерлицкой диспозиции, было написано, хотя и не по немецки:
«Die erste Colonne marschiert [Первая колонна идет (нем.) ] туда то и туда то, die zweite Colonne marschiert [вторая колонна идет (нем.) ] туда то и туда то» и т. д. И все эти колонны на бумаге приходили в назначенное время в свое место и уничтожали неприятеля. Все было, как и во всех диспозициях, прекрасно придумано, и, как и по всем диспозициям, ни одна колонна не пришла в свое время и на свое место.
Когда диспозиция была готова в должном количестве экземпляров, был призван офицер и послан к Ермолову, чтобы передать ему бумаги для исполнения. Молодой кавалергардский офицер, ординарец Кутузова, довольный важностью данного ему поручения, отправился на квартиру Ермолова.
– Уехали, – отвечал денщик Ермолова. Кавалергардский офицер пошел к генералу, у которого часто бывал Ермолов.
– Нет, и генерала нет.
Кавалергардский офицер, сев верхом, поехал к другому.
– Нет, уехали.
«Как бы мне не отвечать за промедление! Вот досада!» – думал офицер. Он объездил весь лагерь. Кто говорил, что видели, как Ермолов проехал с другими генералами куда то, кто говорил, что он, верно, опять дома. Офицер, не обедая, искал до шести часов вечера. Нигде Ермолова не было и никто не знал, где он был. Офицер наскоро перекусил у товарища и поехал опять в авангард к Милорадовичу. Милорадовича не было тоже дома, но тут ему сказали, что Милорадович на балу у генерала Кикина, что, должно быть, и Ермолов там.
– Да где же это?
– А вон, в Ечкине, – сказал казачий офицер, указывая на далекий помещичий дом.
– Да как же там, за цепью?
– Выслали два полка наших в цепь, там нынче такой кутеж идет, беда! Две музыки, три хора песенников.
Офицер поехал за цепь к Ечкину. Издалека еще, подъезжая к дому, он услыхал дружные, веселые звуки плясовой солдатской песни.
«Во олузя а ах… во олузях!..» – с присвистом и с торбаном слышалось ему, изредка заглушаемое криком голосов. Офицеру и весело стало на душе от этих звуков, но вместе с тем и страшно за то, что он виноват, так долго не передав важного, порученного ему приказания. Был уже девятый час. Он слез с лошади и вошел на крыльцо и в переднюю большого, сохранившегося в целости помещичьего дома, находившегося между русских и французов. В буфетной и в передней суетились лакеи с винами и яствами. Под окнами стояли песенники. Офицера ввели в дверь, и он увидал вдруг всех вместе важнейших генералов армии, в том числе и большую, заметную фигуру Ермолова. Все генералы были в расстегнутых сюртуках, с красными, оживленными лицами и громко смеялись, стоя полукругом. В середине залы красивый невысокий генерал с красным лицом бойко и ловко выделывал трепака.
– Ха, ха, ха! Ай да Николай Иванович! ха, ха, ха!..
Офицер чувствовал, что, входя в эту минуту с важным приказанием, он делается вдвойне виноват, и он хотел подождать; но один из генералов увидал его и, узнав, зачем он, сказал Ермолову. Ермолов с нахмуренным лицом вышел к офицеру и, выслушав, взял от него бумагу, ничего не сказав ему.
– Ты думаешь, это нечаянно он уехал? – сказал в этот вечер штабный товарищ кавалергардскому офицеру про Ермолова. – Это штуки, это все нарочно. Коновницына подкатить. Посмотри, завтра каша какая будет!

На другой день, рано утром, дряхлый Кутузов встал, помолился богу, оделся и с неприятным сознанием того, что он должен руководить сражением, которого он не одобрял, сел в коляску и выехал из Леташевки, в пяти верстах позади Тарутина, к тому месту, где должны были быть собраны наступающие колонны. Кутузов ехал, засыпая и просыпаясь и прислушиваясь, нет ли справа выстрелов, не начиналось ли дело? Но все еще было тихо. Только начинался рассвет сырого и пасмурного осеннего дня. Подъезжая к Тарутину, Кутузов заметил кавалеристов, ведших на водопой лошадей через дорогу, по которой ехала коляска. Кутузов присмотрелся к ним, остановил коляску и спросил, какого полка? Кавалеристы были из той колонны, которая должна была быть уже далеко впереди в засаде. «Ошибка, может быть», – подумал старый главнокомандующий. Но, проехав еще дальше, Кутузов увидал пехотные полки, ружья в козлах, солдат за кашей и с дровами, в подштанниках. Позвали офицера. Офицер доложил, что никакого приказания о выступлении не было.
– Как не бы… – начал Кутузов, но тотчас же замолчал и приказал позвать к себе старшего офицера. Вылезши из коляски, опустив голову и тяжело дыша, молча ожидая, ходил он взад и вперед. Когда явился потребованный офицер генерального штаба Эйхен, Кутузов побагровел не оттого, что этот офицер был виною ошибки, но оттого, что он был достойный предмет для выражения гнева. И, трясясь, задыхаясь, старый человек, придя в то состояние бешенства, в которое он в состоянии был приходить, когда валялся по земле от гнева, он напустился на Эйхена, угрожая руками, крича и ругаясь площадными словами. Другой подвернувшийся, капитан Брозин, ни в чем не виноватый, потерпел ту же участь.
– Это что за каналья еще? Расстрелять мерзавцев! – хрипло кричал он, махая руками и шатаясь. Он испытывал физическое страдание. Он, главнокомандующий, светлейший, которого все уверяют, что никто никогда не имел в России такой власти, как он, он поставлен в это положение – поднят на смех перед всей армией. «Напрасно так хлопотал молиться об нынешнем дне, напрасно не спал ночь и все обдумывал! – думал он о самом себе. – Когда был мальчишкой офицером, никто бы не смел так надсмеяться надо мной… А теперь!» Он испытывал физическое страдание, как от телесного наказания, и не мог не выражать его гневными и страдальческими криками; но скоро силы его ослабели, и он, оглядываясь, чувствуя, что он много наговорил нехорошего, сел в коляску и молча уехал назад.