Диссипативные структуры

Диссипативная структура - одно из основных понятий теории струк­тур И. Пригожина. Система в целом может быть неравновесной, но уже определенным образом несколько упорядоченной, организован­ной. Такие системы И. Пригожинназвал диссипативными структурами (от лат. dissipation - разгонять, рассеивать свободную энергию), в которых при значительных отклонениях от равновесия возникают упорядоченные состояния. В процессе образования этих структур энтропия возрастает, изменяются и другие термодинамические функции системы. Это свидетельствует о сохранении в целом ее хаотичности. Диссипация как процесс рассеяния энергии играет важную роль в об­разовании структур в открытых системах. В большинстве случаев дис­сипация реализуется в виде перехода избыточной энергии в тепло. Образование новых типов структур указывает па переход от хаоса и беспорядка к организации и порядку. Эти диссипативные динамические микроструктуры являются прообразами будущих состояний си­стемы, так называемых фракталов (от лат. fractus - дробный, изрезан­ный). Большинство фракталов либо разрушается, полностью так и не сформировавшись (если они оказываются невыгодными с точки зре­ния фундаментальных законов природы), либо иногда остаются как отдельные архаичные остатки прошлого (например, древние обычаи пародов, древние слова и т. д.). В точке бифуркации (точке ветвления) идет своеобразный естественный отбор фрактальных образований. «Выживает» образование, оказавшееся наиболее приспособленным к условиям окружающей среды.

При благоприятных условиях новая структура (фрактал)«разра­стается» и преобразуется постепенно в новую макроструктуру - аттрактор. При этом система переходит в новое качественное состояние. В этом новом состоянии система продолжает свое наступательное дви­жение до следующей точки бифуркации, то есть до следующего нерав­новесного фазового перехода.

В целом диссипация как процесс рассеивания энергии, затухания движения и информации играет весьма конструктивную роль в образовании новых структур в открытых системах. Для диссипативной системы невозможно предсказать конкретный путь развития, поскольку трудно предугадать начальные реальные условия ее состояния.

Открытая нелинейная самоорганизующаяся система всегда подверже­на колебаниям. Именно в колебаниях система развивается и движется к относительно устойчивым структурам. Этому способствует посто­янный обмен системы энергией и веществом с окружающей средой.

Аномальные изменения в среде могут вывести систему из состояния динамического равновесия, и она станет неравновесной. Например, усиливающийся приток энергии в систему вызывает флуктуации и де­лает ее неравновесной и нерегулируемой. Организация системы все более расшатывается, изменяются свойства системы.

Если параметры системы достигают определенных критических значений, то система переходит в состояние хаоса.

Состояние максимальной хаотичности неравновесного процесса называют точкой бифуркации. Точки бифуркации - это точки равно­весия как устойчивого, так и неустойчивого точки «выбора» дальней­шего пути развития системы.

Для синергетики важны неустойчивые состояния. Появление не­устойчивых состояний создает потенциальную возможность системе перейти в повое качественное состояние. Оно будет характеризовать­ся новыми параметрами системы и новым режимом ее функциониро­вания.

В состояниях выбора пути, то есть в точках бифуркаций большое значение имеют случайные флуктуации (колебания). От них зависит, по какому пути из множества возможных система будет выходить из состояния неустойчивости. Многие флуктуации рассеиваются, неко­торые не оказывают влияния на дальнейший путь развития системы как очень слабые. Но при определенных, пороговых условиях за счет случайных внешних воздействий эти флуктуации могут усиливаться и действовать в резонанс, подталкивая систему к выбору определенно­го пути развития (определенной траектории).

В точках бифуркации самоорганизующаяся система, стоя перед вы­бором путей развития, образует множество диссипативных динамиче­ских микроструктур, как бы «эмбрионов» будущих состояний систе­мы - фракталов. Набор таких состояний в точках бифуркаций перед выбором дальнейшего пути и образует детерминированный, или дина­мический, хаос. Однако большинство этих будущих прообразов систе­мы - фрактальных образований гибнет в конкурентной борьбе. В ре­зультате выживает та микроструктура, которая является наиболее приспособленной к внешним условиям. Весь этот процесс носит слу­чайный и неопределенный характер. Выжившая в конкурентной борь­бе фрактальных образований формирующаяся макроструктура полу­чила название аттрактора (см. выше). В результате этого система пере­ходит в новое качественно более высокое организационное состояние. Направление движения этого аттрактора начинает подчиняться необ­ходимости. Система теперь ведет себя как жестко детерминированная.

Таким образом, аттрактор представляет собой отрезок эволюционного пути от точки бифуркации до определенного финала (им может быть другая точка бифуркации). Обычные аттракторы характеризуются ус­тойчивостью динамической системы. Аттрактор как бы притягивает к себе подобно магниту множество различных траекторий системы, определяемых разными начальными значениями параметров. Здесь очень важную роль играют кооперативные, совместные процессы, ко­торые основываются на когерентном, то есть согласованном, взаимо­действии всех элементов зарождающейся устойчивой структуры.

Аттрактор можно сравнить с конусом или воронкой, которые своей широкой частью обращены к зоне ветвления, то есть к точке бифурка­ции, а узкой частью - к конечному результату, то есть к упорядочен­ной структуре. Если система попадает в сферу действия определенно­го аттрактора, то она эволюционирует именно к нему. Разными путя­ми эволюция выходит па одни и те же аттракторы. В результате этого формируются параметры порядка, то есть устойчивого динамического состояния. В этом состоянии система может находиться до тех пор, пока в силу каких-либо причин, а также случайных флуктуации она вновь не придет в неустойчивое положение. Эти причины связаны с дисгармонией, несоответствием внутреннего состояния открытой си­стемы внешним условиям окружающей ее среды. Вследствие этого си­стема теряет свою устойчивость, возвращаясь к хаотическому состоя­нию, и у нее вновь появляется множество новых путей развития. Для наглядности бифуркационный процесс эволюции системы можно пред­ставить в виде бифуркационного дерева (рис. 8.1).

По подобному принципу в виде эволюционного дерева можно пред­ставить развитие биологических видов или антропогенеза.

В точках бифуркации даже маленькое случайное изменение может привести к серьезному возмущению системы. Поэтому самоорганизу­ющимся системам нельзя грубо навязывать определенные пути разви­тия. Здесь необходимо исследовать и найти пути совместной жизни природы и человека, стараться глубоко познать природу их совмест­ной эволюции, коэволюции.

Основы теории бифуркаций были заложены в начале XX в. фран­цузским математиком А. Пуанкаре и русским математиком А. Ляпу­новым. В дальнейшем эта теория получила развитие в школе русского физика А. Андронова. Теория бифуркаций в настоящее время находит широкое применение в междисциплинарных науках, а также в физике, химии, биологии.

Рис. 1. Бифуркационный характер эволюиии системы (X, Z- параметры системы, f - время, А и В - точки бифуркации)

Эволюционное движение системы обязательно связано с необхо­димостью перестройки адаптивных механизмов па качественно новый, более высокий уровень. Если система благодаря внутренней перестрой­ке смогла (успела) адаптироваться к новым условиям, то она приобре­тает новое, организационно более высокое, устойчивое состояние; если нет, то она разрушается и гибнет. В адаптированном устойчивом положении система может находиться до следующей случайной флуктуации, после которой ситуация повторяется. По этой схеме идет эво­люционное развитие всех систем па всех структурных уровнях, хотя скорость этого процесса различна. Так, химическая эволюция Вселен­ной продолжается от времени Большого взрыва до наших дней - это около 20 млрд лет, эволюция живой материи - 3,7 млрд лет, эволюция человека - около 2 млн лет, а человеческого общества - порядка не­скольких десятков тысяч лет.

С точки зрения синергетической самоорганизации жизнь зароди­лась в диапазоне сложных систем. В этом случае следует считать жизнь совокупностью («сборкой») физико-химических элементов.

С позиций синергетики закономерным представляется и эволюция мира живого, которая по линии развития древесных млекопитающих привела к появлению человека как биологического вида, а также чело­веческого общества как социальной системы.

Бифуркация

Бифуркация берёт свои корни от латинского слова bifurcus -- раздвоенный применяется для обозначения различных процессов в различных научных сферах. Прелесть сложных систем - их динамическое поведение, постоянное развитие. Чтобы система развивалась, необходим переход из одного состояния в другое. Сам переход называется бифуркацией. Этот термин был введён для обозначения подобного процесса Л.Пуанкаре. Несмотря на широкую область использования данного термина, фактически он описывает один и тот же процесс. При вольном обобщении различных источников получается такое определение: бифуркация - это процесс, когда система двигается в устойчивом состоянии и в какой-то точке её состояние становится неустойчивым, в следствие чего она продолжает развитие не по старой траектории, а по двум новым. Графически это выглядит так.

График показывает, что в процессе развития системы во времени(t), в определённой точке, обозначенной как точка бифуркации, система, вместо одного устойчивого состояния приобретает два новых устойчивых состояния, и далее этот процесс как правило повторяется. Существует масса различных примеров бифуркации: бифуркация рек -- разделение русла реки и её долины на две ветви, которые в дальнейшем не сливаются и впадают в различные бассейны; в медицине -- разделение трубчатого органа (сосуда или бронха) на 2 ветви одинакового калибра, отходящие в стороны под одинаковыми углами; механическая бифуркация -- приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров; разделение старших классов учебного заведения на два отделения; бифуркация времени-пространства (в научной фантастике) -- разделение времени на несколько потоков, в каждом из которых происходят свои события. В параллельном времени-пространстве у героев бывают разные жизни.

Пожалуй, пора перейти к классификации бифуркаций, и затем и к теории катастроф.

Бифуркации классифицируются на мягкие и жёсткие .

Мягкая бифуркация - это переход из одного устойчивого состояния в другое, при том что новое устойчивое состояние находится в непосредственной близости от исходного. Т.е. качественно не имеет сильно заметных существенных различий.

Жёсткая бифуркация - это бифуркация, в результате которой система приобретает качественно новое устойчивое состояние, не похожее на исходное.

Из рисунка видно, что при малом изменении параметра система выбирает новый режим, который уже находится не в непосредственной близости от исходного, следовательно, имеет качественные различия. Именно жёсткие бифуркации легли в основу теории катастроф.

Теория катастроф

Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например, болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: оно может вести также к уверенности в нашем поражении, в нашем конце.

РЕНЕ ТОМ

Прежде чем вникнуть в суть теории катастроф, необходимо осознать актуальность данной тематики. Первое, что я считаю нужным отметить - существующие достижения в этой области. Во-первых, философские концепции о всеобщей предопределённости потеряли всякий смысл, что дало надежду на возможность влиять на предполагаемые кардинальные повороты ситуации. Вместе с надеждой появилось осознание ответственности за происходящее, за нарушение баланса в природе, обществе или за отсутствие там гармонии. Остается проблема обеспечения этой информацией максимально большего количества людей, кроме того важен не сам факт получения этой информации людьми, а факт осознания и восприятия этого вывода как побуждения к действиям. К сожалению, это больше похоже на утопию, поэтому продолжая размышлять о пользах теории, нужно не забывать, что и термин «катастрофа» представляет собой не бытовое видение этого события. Катастрофа в данном случае - это просто кардинальное изменение существующей системы. Основной задачей, как мы сейчас уже понимаем, является лишь правильно угадать момент и направление действий. Кроме того, этот факт даёт нам возможность предполагать, что даже и самая безвыходная ситуация - признак надвигающейся «катастрофы», означает лишь перемену, а не Армагедон.

Существует не мало исторических примеров, когда приложенных в нужный момент минимальных усилий хватало для того, чтобы перевернуть всё «с ног на голову». Естественно, что не все попытки «изменить мир» воплотились. Безусловно, это зависит от качества предпринимаемых попыток, но немаловажную роль играет время и место происходящего. Если правильно «угадать момент», то даже с самой бессмысленной идеей можно добиться радикальных изменений, а если нет, то даже самая гениальная мысль не изменит ситуацию. Чтобы уметь определять расстояние системы до точки катастрофы (а именно при переходе через эти точки и происходит самое интересное), нужно потрудиться и найти зависимость системы от внешних параметров в математических моделях, но я сомневаюсь, что кто-то занимался этим на самом деле, скорее это прерогатива будущего.

Как же опознать приближение системы критической точки? Существует такое понятие как «флаги катастроф» - особенности поведения системы, по которым можно это определить. Вот они: наличие нескольких устойчивых состояний, существование неустойчивых состояний, из которых система стремится выйти, возможность скорого изменения системы при незначительных изменениях внешних параметров, необратимость системы

Полагаю, что исчерпывающим примером каждый может назвать сам себя. Очевидно, что человек - это сложная система, равно как и его жизнь. В какие-то моменты индивид оказывается перед выбором, который определит его будущее в какой-то довольно существенной степени (выбор места учёбы, работы, места жительства и т.п.). При этом наблюдается «неуйстойчивое состояние», присущее любому человеческому существу, только в разной степени (вот уже и второй флаг). Как правило, преодолев «первый флаг», постоянно держа второй в руке, человек оказывается лицом к лицу с «третьим флагом», адаптирующего его с его выбором. После принятия решения, как правило, назад пути нет, а это верный признак того, что вы упёрлись в «четвёртый флаг». Если учёный обнаружит один из этих признаков, то ему не составит труда добраться и до остальных. Следует отметить, что это не единственный возможный набор «флагов».

Теория сильно отличается от практики тем, что никаких действий предпринять в случае чего не может. Но она вполне в состоянии понять и объяснить явления, с которыми мы сталкиваемся в реальной жизни. В бытовом смысле катастрофа или хаос это нечто разрушительное, обязательно с летальным исходом, и абсолютно неконтролируемое и необъяснимое. Как утверждает доктор физико-математических наук А.Чуличков: «С точки зрения математики катастрофа и хаос - вовсе не обязательно крушение всех надежд или еще какая-нибудь беда.», и я склонна ему верить. Что же такое «катастрофа» в таком случае? Для разнообразия процитирую другого научного деятеля - В.И.Арнольда: «Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий». Основная задача теории - это не растеряться в такой ситуации (в преддверии кризиса) и найти тот верный шаг, который поможет не только не испортить ситуацию, но и переманить госпожу удачу на свою сторону. А для того, чтобы вовремя начать придумывать план по захвату удачи, существуют посланники другого мифического субъекта - судьбы. Их мы рассмотрели ранее и выяснили, что называются они «флагами катастроф». Осталось только научиться оперировать этой информацией, и тогда дорога в светлое будущее обеспечена, также как и дружеские отношения с прекрасными госпожами - Судьбой и Удачей.

Как было сказано в начале, теория катастроф дает нам представление о сценариях развития событий после прохождения определенного этапа жизни сложной системы. Зиман, в своём ответе Рене Тому, выделил семь видов катастроф.

Глубже вдаваться в теорию катастроф я не буду, потому что основная цель этой работы -отделить понятия - «бедствие» и «катастрофа». И не просто описать и классифицировать их, а выяснить причину столь многочисленных исследований этой темы, и рассмотреть результаты проделанной работы.

Для изучения видов бифуркации желательно разобраться с самим . В общем случае исследование всего фазового пространства на точки бифуркации является сложной задачей для n-мерного пространства, поэтому проводятся локальные исследования, а полученные точки бифуркации называются локальными точками бифуркации . За локальными точками бифуркации можно проследить, наблюдая развитие малых возмущений в системе Бифуркации состояний равновесия и периодических движений на примере шарика. Простейшими и наиболее важными из них являются бифуркации состояний равновесия и периодических движений.

Бифуркация положений равновесия

К основным бифуркациям состояний равновесия относят:

1. слияние и последующее исчезновение двух состояний равновесия. Примером может служить движение шарика в потенциальной «яме» с «полочкой» (рис. 1). При сглаживании «полочки» BD состояние равновесия «седло» S и центр С 2 сливаются и исчезают (рис. 2).

Рисунок 1 - Схема движения шарика в «яме» с «полочкой» (а) и его фазовый портрет (б) Рисунок 2 - Схема движения шарика после бифуркации (а) и его фазовый портрет (б)

• Рождение предельного цикла из состояния равновесия. Пример такой бифуркации бифуркация Хопфа .

Рассмотрим динамическую систему (1) Динамическаия система Она является упрощенным выражением сложной динамической системы, описываемой функциями x(t) и y(t) , которые выражаются через соответствующие полярные координаты: и называется системой Хопфа. Система (1) зависит от двух параметров, один из которых λ будет для нас ключевым, а другой с=const . Решения задачи Коши при некоторых заданных начальных значения r(t=0)=r 0 , "phi;(t=0)="phi; 0 при λ < 0 дает нам фазовый портрет и график динамики, изображенные на рис. 3.
Рисунок 3 - График динамики (а) и фазовый портрет (б) В данном случае существует единственная особая точка - устойчивый фокус . Построим теперь график динамики и фазовый портрет для случая λ > 0 (λ = 4) (см. рис. 4)
Рисунок 3 - График динамики (а) и фазовий портрет (б) при λ > 0 Разными цветами изображены развязки при различных начальных условиях. Как видим, после короткого переходного процесса система входит в колебательный режим, причем амплитуда и частота колебаний не зависят от начальных условий (при любых начальных условиях система придет в одно и то же колебательное состояние). На фазовом портрете решение для разных начальных условий как бы «наматываются» на замкнутую кривую. Эта кривая, к которой при t -> ∞ стремятся решения задачи Коши, является аттрактором и называется предельным циклом . Колебательный процесс, описывающий этот предельный цикл, называется автоколебаниями . Развязки в виде автоколебаний возможны только в существенно нелинейных динамических системах. Динамическая система Хопфа имеет нелинейность в виде куба параметра, причем дополнительная нелинейность накладывается благодаря определению функций x(t) и y(t) как выражений тригонометрических функций. Можно доказать, что для данной динамической системы амплитуда колебаний равна . Итак, λ = 0 - бифуркационные значения параметра. В этой точке узел теряет устойчивость и вместо него рождается устойчивый предельный цикл. Данная бифуркация рождения предельного цикла из неподвижной точки называется бифуркацией Хопфа , а рождение автоколебаний - мягким (при малых изменениях параметра колебания имеют малую амплитуду, которая увеличивается с его ростом). Жесткое рождения автоколебаний - при малых изменениях параметра происходит «выброс» траектории в область притяжения другого аттрактора.

• Рождение из одного равновесного состояния трех состояний равновесия - спонтанное нарушение симметрии. Например, при движении шарика в желобе при условии появления в нем бугорка появляется бифуркация, при которой из вырожденного состояния типа «центр» возникают три состояния равновесия - седло S и центры С1 и С2 (рис. 4)

Рисунок 4 - Рождения из одного состояния равновесия трех при малом изменении параметра (формы желоба): а) форма желоба с одним минимумом и соответствующий фазовый портрет с одним состоянием равновесия типа «центр»; б) форма желоба с двумя минимумами и соответствующий фазовый портрет с тремя состояниями равновесия: «седло» S и «центры» С1 и С2

Бифуркации рождения (гибели) периодического движения

Всем бифуркация рождения или гибели состояний равновесия соответствует прохождение одного или нескольких корней через ноль. Такая возможность проиллюстрирована на рис. 5, где изображена гибель двух состояний равновесия типа «седла» и «узла». Аналогичная бифуркация встречается в задачах о конкуренции видов Х1 и Х2, питающихся из одного источника. Соответствующая динамическая система, описывающая численность популяций, задается уравнениями: При ρ 1,2 > 1 в системе возможна «победа» одного из видов. При уменьшении любого из параметров ρ 1,2 до значения, меньшего от 1, при любых начальных условиях будет выживать только один вид (рис. 5, б). Рисунок 5 - Фазовые портреты численности популяций, а) при ρ 1 < 1 , ρ 2 > 1 ; б) при ρ 1,2 > 1

Бифуркации смены устойчивости периодических движений

Весомая характеристика бифуркации устойчивости - значения мультипликаторов в критический момент, являющихся коэффициентами усиления (затухания) малых возмущений на фоне периодического движения за период Т. В автономной системе один из мультипликаторов всегда равен единице, поэтому в дальнейшем говорим о других. Если все мультипликаторы по модулю меньшие единицы, то начальное периодическое движение устойчиво. Бифуркации, связанные с исчезновением устойчивости, происходят при таких значениях параметров системы, при которых один или несколько из них равны по модулю 1. Эта публикация цитируется в (всего в 63 статьях)

Теория бифуркаций

Аннотация: Теория бифуркаций фазовых портретов дифференциальных уравнений вблизи положений равновесия и предельных циклов изложена в первых двух главах, Изложение начинается с основных понятий и фактов и заканчивается новыми результатами о бифуркациях в типичных однопараметрических семействах, происходящие на границе множества систем Морса-Смейла. Релаксационные колебания изучены с точки зрения теории особенностей и теории нормальных форм; включены результаты о затягивании потери устойчивости и решениях-утках.
Библ. 206.

Полный текст: PDF файл (31704 kB)

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.925 +517.928

Образец цитирования: В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников, “Теория бифуркаций”, Динамические системы - 5 , Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 5 , ВИНИТИ, М., 1986, 5-218

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{ArnAfrIly86}
\by В.~И.~Арнольд, В.~С.~Афраймович, Ю.~С.~Ильяшенко, Л.~П.~Шильников
\paper Теория бифуркаций
\inbook Динамические системы~--~5
\serial Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления
\yr 1986
\vol 5
\pages 5--218
\publ ВИНИТИ
\publaddr М.
\mathnet{http://mi.сайт/intf40}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=895653}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0797.58003}

Образцы ссылок на эту страницу:

http://mi.сайт/intf40

http://mi.сайт/rus/intf/v5/p5

ОТПРАВИТЬ:

Эта публикация цитируется в следующих статьяx:

1. Г. Р. Белицкий, “Гладкая эквивалентность ростков векторных полей с одним нулевым или парой чисто мнимых собственных значений”, Функц. анализ и его прил. , 20 :4 (1986), 1-8 ; G. R. Belitskii, “Smooth equivalence of germs of vector fields with a single zero eigenvalue or a pair of purely imaginary eigenvalues”, Funct. Anal. Appl. , 20 :4 (1986), 253-259
2. М. А. Шерешевский, “О хаусдорфовой размерности фрактальных базисных множеств, возникающих при некоторых глобальных бифуркациях потоков на трехмерных многообразиях”, УМН , 43 :3(261) (1988), 199-200 ; M. A. Shereshevskii, “On the Hausdorff dimension of fractal basis sets arising in certain global bifurcations of flows on three-dimensional manifolds”, Russian Math. Surveys , 43 :3 (1988), 223-224
3. А. В. Бабин, М. И. Вишик, “Спектральное и стабилизированное асимптотиче­ское поведение решений нелинейных эволюционных уравнений”, УМН , 43 :5(263) (1988), 99-132 ; A. V. Babin, M. I. Vishik, “Spectral and stabilized asymptotic behaviour of solutions of non-linear evolution equations”, Russian Math. Surveys , 43 :5 (1988), 121-164
4. Б. А. Хесин, “Версальные деформации пересечений инвариантных подмногообразий динамических систем”, УМН , 44 :3(267) (1989), 181-182 ; B. A. Khesin, “Versal deformations of intersections of invariant submanifolds of dynamical systems”, Russian Math. Surveys , 44 :3 (1989), 201-203
5. Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, “Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей.”, УМН , 46 :1(277) (1991), 3-39 ; Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko, “Finitely-smooth normal forms of local families of diffeomorphisms and vector fields”, Russian Math. Surveys , 46 :1 (1991), 1-43
6. И. Д. Чуешов, “Глобальные аттракторы в нелинейных задачах математической физики”, УМН , 48 :3(291) (1993), 135-162 ; I. D. Chueshov, “Global attractors for non-linear problems of mathematical physics”, Russian Math. Surveys , 48 :3 (1993), 133-161
7. Е. В. Николаев, “Бифуркации предельных циклов дифференциальных уравнений, допускающих инволютивную симметрию”, Матем. сб. , 186 :4 (1995), 143-160 ; E. V. Nikolaev, “Bifurcations of limit cycles of differential equations admitting an involutive symmetry”, Sb. Math. , 186 :4 (1995), 611-627
8. С. В. Гонченко, “Модули $\Omega$ -сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром”, Матем. сб. , 187 :9 (1996), 3-24 ; S. V. Gonchenko, “Moduli of $\Omega$ -conjugacy of two-dimensional diffeomorphisms with a structurally unstable heteroclinic contour”, Sb. Math. , 187 :9 (1996), 1261-1281
9. Д. В. Аносов, А. А. Болибрух, В. А. Васильев, А. М. Вершик, А. А. Гончар, М. Л. Громов, С. М. Гусейн-Заде, В. М. Закалюкин, Ю. С. Ильяшенко, В. В. Козлов, М. Л. Концевич, Ю. И. Манин, А. И. Нейштадт, С. П. Новиков, Ю. С. Осипов, М. Б. Севрюк, Я. Г. Синай, А. Н. Тюрин, Л. Д. Фаддеев, Б. А. Хесин, А. Г. Хованский, “Владимир Игоревич Арнольд (к шестидесятилетию со дня рождения)”, УМН , 52 :5(317) (1997), 235-255 ; D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vassiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovanskii, “Vladimir Igorevich Arnol"d (on his 60th birthday)”, Russian Math. Surveys , 52 :5 (1997), 1117-1139
10. С. А. Вакуленко, П. В. Гордон, “Распространение и рассеяние кинков в неоднородной нелинейной среде”, ТМФ , 112 :3 (1997), 384-394 ; S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, “Propagation and scattering of kinks in inhomogeneous nonlinear media”, Theoret. and Math. Phys. , 112 :3 (1997), 1104-1112
11. Е. А. Сатаев, “Производная Шварца для многомерных отображений и потоков”, Матем. сб. , 190 :1 (1999), 139-160 ; E. A. Sataev, “Schwartzian derivative for multidimensional maps and flows”, Sb. Math. , 190 :1 (1999), 143-164
12. Э. Э. Шноль, Е. В. Николаев, “О бифуркациях симметричных положений равновесия, отвечающих двукратным собственным значениям”, Матем. сб. , 190 :9 (1999), 127-150 ; È. È. Shnol", E. V. Nikolaev, “On the bifurcations of equilibria corresponding to double eigenvalues”, Sb. Math. , 190 :9 (1999), 1353-1376
13. Ю. Н. Бибиков, “Устойчивость и бифуркация при периодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой колебаний”, Матем. заметки , 65 :3 (1999), 323-335 ; Yu. N. Bibikov, “Stability and bifurcation under periodic perturbations of the equilibrium position of an oscillator with an infinitely large or infinitely small oscillation frequency”, Math. Notes , 65 :3 (1999), 269-279
14. Э. Э. Шноль, “Правильные многогранники и бифуркации симметричных положений равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений”, Матем. сб. , 191 :8 (2000), 141-157 ; È. È. Shnol", “Regular polyhedra and bifurcations of symmetric equilibria of ordinary differential equations”, Sb. Math. , 191 :8 (2000), 1243-1258
15. С. В. Богатырев, “Циклы-утки в системе Льенарда”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 12 , СамГТУ, Самара, 2001, 36-39
16. Л. И. Кононенко, “Качественный анализ сингулярно возмущенных систем с одной или двумя медленными и быстрыми переменными”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :4 (2002), 55-62
17. Е. П. Волокитин, С. А. Тресков, “Бифуркационная диаграмма кубической системы льенаровского типа”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :3 (2002), 67-75
18. Е. А. Щепакина, “Условия безопасности воспламенения горючей жидкости в пористом изоляционном материале”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :3 (2002), 162-169
19. М. Д. Новиков, Б. М. Павлов, “О некоторых простых потоковых системах с хаотическими режимами”, Матем. моделирование , 14 :11 (2002), 63-77
20. Е. А. Щепакина, “Притягивающе-отталкивающие интегральные поверхности в задачах горения”, Матем. моделирование , 14 :3 (2002), 30-42
21. О. Д. Аносова, “Инвариантные многообразия в сингулярно возмущенных системах”, , Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 236 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2002, 27-32 ; O. D. Anosova, “Invariant Manifolds in Singularly Perturbed Systems”, Proc. Steklov Inst. Math. , 236 (2002), 19-24
22. Е. А. Щепакина, “Сингулярно возмущенные модели горения в многофазных средах”, Сиб. журн. индустр. матем. , 6 :4 (2003), 142-157
23. Е. А. Щепакина, “Сингулярные возмущения в задаче моделирования безопасных режимов горения”, Матем. моделирование , 15 :8 (2003), 113-117
24. Л. И. Кононенко, “Инфинитезимальный анализ сингулярных систем с быстрыми и медленными переменными”, Сиб. журн. индустр. матем. , 6 :4 (2003), 51-59
25. Л. Г. Куракин, В. И. Юдович, “О бифуркациях равновесий при разрушении косимметрии динамической системы”, Сиб. матем. журн. , 45 :2 (2004), 356-374 ; L. G. Kurakin, V. I. Yudovich, “On equilibrium bifurcations in the cosymmetry collapse of a dynamical system”, Siberian Math. J. , 45 :2 (2004), 294-310
26. С. В. Гонченко, В. С. Гонченко, “О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями”, Динамические системы и смежные вопросы геометрии , Сборник статей. Посвящается памяти академика Андрея Андреевича Болибруха, Тр. МИАН, 244 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2004, 87-114 ; S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, “On Bifurcations of Birth of Closed Invariant Curves in the Case of Two-Dimensional Diffeomorphisms with Homoclinic Tangencies”, Proc. Steklov Inst. Math. , 244 (2004), 80-105
27. J. Guckenheimer, R. Haiduc, “Canards at folded nodes”, Mosc. Math. J. , 5 :1 (2005), 91-103
28. Э. Л. Аэро, С. А. Вакуленко, “Асимптотическое поведение решений для сильно нелинейной модели кристаллической решетки”, ТМФ , 143 :3 (2005), 357-367 ; E. L. Aero, S. A. Vakulenko, “Asymptotic Behavior of Solutions of a Strongly Nonlinear Model of a Crystal Lattice”, Theoret. and Math. Phys. , 143 :3 (2005), 782-791
29. А. Р. Борисюк, “Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Общий случай”, Матем. сб. , 196 :4 (2005), 3-22 ; A. R. Borisyuk, “Global bifurcations on a Klein bottle. The general case”, Sb. Math. , 196 :4 (2005), 465-483
30. Е. П. Белан, “О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной”, Журн. матем. физ., анал., геом. , 1 :1 (2005), 3-34
31. Т. С. Фирсова, “Топология аналитических слоений в $\mathbb C^2$ . Свойство Купки-Смейла”, Нелинейные аналитические дифференциальные уравнения , Сборник статей, Тр. МИАН, 254 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2006, 162-180 ; T. S. Firsova, “Topology of Analytic Foliations in $\mathbb C^2$ . The Kupka-Smale Property”, Proc. Steklov Inst. Math. , 254 (2006), 152-168
32. А. О. Ремизов, “Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений”, Оптимальное управление , СМФН, 19 , РУДН, М., 2006, 131-170 ; A. O. Remizov, “Many-Dimensional Poincaré Construction and Singularities of Lifted Fields For Implicit Differential Equations”, Journal of Mathematical Sciences , 151 :6 (2008), 3561-3602
33. Л. И. Кононенко, “Качественный анализ сингулярно возмущенной системы в $\mathbb R^3$ ”, Сиб. журн. индустр. матем. , 10 :4 (2007), 76-82 ; L. I. Kononenko, “Qualitative analysis of a singularly perturbed system in $\mathbb R^3$ ”, J. Appl. Industr. Math. , 3 :4 (2009), 456-461
34. Ю. А. Гришина, А. А. Давыдов, “Структурная устойчивость простейших динамических неравенств”, Динамические системы и оптимизация , Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 256 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2007, 89-101 ; Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, “Structural Stability of Simplest Dynamical Inequalities”, Proc. Steklov Inst. Math. , 256 (2007), 80-91
35. Ф. И. Атауллаханов, Е. С. Лобанова, О. Л. Морозова, Э. Э. Шноль, Е. А. Ермакова, А. А. Бутылин, А. Н. Заикин, “Сложные режимы распространения возбуждения и самоорганизация в модели свертывания крови”, УФН , 177 :1 (2007), 87-104 ; F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, È. È. Shnol", E. A. Ermakova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, “Intricate regimes of propagation of an excitation and self-organization in the blood clotting model”, Phys. Usp. , 50 :1 (2007), 79-94
36. П. Д. Лебедев, “Вычисление меры невыпуклости плоских множеств”, Тр. ИММ УрО РАН, 13 , № 3, 2007, 84-94
37. “Владимир Игоревич Арнольд (к семидесятилетию со дня рождения)”, УМН , 62 :5(377) (2007), 175-184 ; “Vladimir Igorevich Arnol"d (on his 70th birthday)”, Russian Math. Surveys , 62 :5 (2007), 1021-1030
38. Ю. М. Апонин, Е. А. Апонина, “Иерархия моделей математической биологии и численно-аналитические методы их исследования (обзор)”, Матем. биология и биоинформ. , 2 :2 (2007), 347-360
39. Е. С. Голодова, Е. А. Щепакина, “Моделирование безопасных процессов горения с максимальной температурой”, Матем. моделирование , 20 :5 (2008), 55-68 ; E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, “Modelling of safe combustion with maximal temperature”, Math. Models Comput. Simul. , 1 :2 (2009), 322-334
40. В. М. Закалюкин, А. О. Ремизов, “Лежандровы особенности в системах неявных обыкновенных дифференциальных уравнений и быстро-медленных динамических системах”, Дифференциальные уравнения и динамические системы , Сборник статей, Тр. МИАН, 261 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 140-153 ; V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, “Legendre Singularities in Systems of Implicit ODEs and Slow-Fast Dynamical Systems”, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 136-148
41. Н. Е. Кулагин, Л. М. Лерман, Т. Г. Шмакова, “О радиальных решениях уравнения Свифта-Хоенберга”, Дифференциальные уравнения и динамические системы , Сборник статей, Тр. МИАН, 261 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 188-209 ; N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmakova, “On Radial Solutions of the Swift-Hohenberg Equation”, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 183-203
42. П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Геометрия и асимптотика волновых фронтов”, Изв. вузов. Матем. , 2008, № 3, 27-37 ; P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, “Geometry and the asymptotics of wave forms”, Russian Math. (Iz. VUZ) , 52 :3 (2008), 24-33
43. Л. И. Кононенко, “Релаксации в сингулярно возмущенных системах на плоскости”, Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. , 9 :4 (2009), 45-50
44. Д. В. Аносов, “О математических работах Л. С. Понтрягина”, Дифференциальные уравнения и топология. I , Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН, 268 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 11-23 ; D. V. Anosov, “On the mathematical work of L. S. Pontryagin”, Proc. Steklov Inst. Math. , 268 (2010), 5-16

а) Введение в теорию бифуркаций

Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров. Так, при потере устойчивости особой точкой может возникнуть предельный цикл, а при потере устойчивости предельным циклом – хаос. Такого рода изменения и называются бифуркациями.

В дифференциальных уравнениях, описывающих реальные физические явления, чаще всего встречаются особые точки и предельные циклы общего положения, то есть гиперболические. Однако встречаются и специальные классы дифференциальных уравнений, где дело обстоит иначе. Таковы, например, системы, обладающие симметриями, связанными с природой описываемого явления, а также гамильтоновы уравнения, обратимые системы, уравнения, сохраняющие фазовый объем. Так, например, рассмотрим однопараметрическое семейство динамических систем на прямой с симметрией второго порядка:

Типичная бифуркация симметричного положения равновесия в такой системе(«трезубец») изображена на рис. 1. Она состоит в том, что от теряющего устойчивость симметричного положения равновесия ответвляется два новых, менее симметричных, положения равновесия. При этом симметричное положение равновесия сохраняется, но теряет устойчивость.

Основы математической теории бифуркаций были созданы А. Пуанкаре и A. M. Ляпуновым в начале ХХ века, а затем развиты некоторыми школами. Теория бифуркаций находит приложения в разных науках, начиная от физики и химии, заканчивая биологией и социологией.

Происхождение термина бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) связано с тем фактом, что динамическая система, поведение которой в равновесной области описывается системой линейных дифференциальных уравнений, имеющих единственное решение, при изменении параметров до некоторого критического значения, достигает так называемой точки бифуркации – точки ветвления возможных путей эволюции системы.

Этот момент (точка ветвления) соответствует переходу системы в неравновесное состояние, а на уровне математического описания ему соответствует переход к нелинейным дифференциальным уравнениям и ветвление их решений.

Бифуркацией называется приобретение нового качества эволюции (в движении) динамической системы при малом изменении ее параметров. Бифуркация соответствует перестройке характера движения или структуры реальной системы (физической, химической, биологической и т. д.).

С позиций математики, бифуркация – это смена топологической структуры разбиения фазового пространства динамической системы на траектории при малом изменении ее параметров.

Это определение опирается на понятие топологической эквивалентности динамических систем: две системы топологически эквивалентны, если они имеют одинаковую структуру разбиения фазового пространства на траектории, если движения одной из них могут быть сведены к движениям другой непрерывной заменой координат и времени.

Примером такой эквивалентности служат движения маятника при разных величинах коэффициента трения k: при малом трении траектории на фазовой плоскости имеют вид скручивающихся спиралей, а при большом – парабол (рис. на следующем слайде)

Переход от фазового портрета а к б не представляет собой бифуркации, поскольку бифуркации – это переход от данной системы к топологически неэквивалентной.

Пример: В математической модели возникновению ячеек Бенара соответствует бифуркация рождения новых состояний равновесия (соответствующих ячеистой структуре).

Среди различных бифуркаций при анализе моделей физических систем особенно интересны, так называемые, локальные – это бифуркации, при которых происходит перестройка отдельных движений динамической системы.

Простейшими и наиболее важными из них являются:

бифуркации состояний равновесия (ячейки Бенара)

бифуркации периодических движений.

Заключение. Важные черты бифуркации

Бифуркации, в результате которых исчезают статические или периодические режимы (то есть состояния равновесия или предельные циклы), могут приводить к тому, что динамическая система переходит в режим стохастических колебаний.

В приложениях теории бифуркаций ставится задача – для каждой конкретной ситуации найти аналитические выражения для вариантов решений уравнений, возникающих в точках бифуркации, а также определение значений параметров, при которых начинается ветвление решений уравнений. Предварительно необходимо провести анализ устойчивости системы и поиск точек ее неустойчивости. Методы этого анализа основаны на теории устойчивости, они достаточно подробно разработаны и носят чисто технический характер.

В теории бифуркаций описано большое число бифуркационных ситуаций. В развитии реальных природных систем могут наблюдаться не отдельные бифуркации, а целые каскады бифуркаций (классическим примером может служить возникновение турбулентности и других гидродинамических неустойчивостей). Кроме того, различают бифуркации и катастрофы. Существует даже теория катастроф. Однако, анализ связей и различий между ними выходит за пределы данного учебного пособия.

Очень важная черта бифуркаций: В момент времени, когда система находится вблизи точки бифуркации, огромную роль начинают играть малые возмущения значений ее параметров. Эти возмущения могут носить как чисто случайный характер, так и быть целенаправленными. Именно от них зависит, по какой эволюционной ветви пойдет система, пройдя через точку бифуркации. То есть, если до прохождения точки бифуркации, поведение системы подчиняется детерминистским закономерностям, то в самой точке бифуркации решающую роль играет случай.

Вследствие этого, по словам И. Пригожина, мир становится «загадочным, непредсказуемым, неконтролируемым». В определенном отношении это так. Но полностью с этим высказыванием нельзя согласиться, поскольку для любой системы в точке бифуркации имеется не произвольный, а вполне определенный набор путей эволюции. Поэтому даже если работает случайность, то она работает в строго определенном поле возможностей. И, следовательно, говорить о полной неопределенности и, тем более, полной загадочности некорректно. Что же касается неконтролируемости, то, конечно, говорить о тотальном контроле не имеет смысла, но в некоторых процессах возможно вмешательство как подталкивание к желаемым вариантам развития.

4. ХАОС

Тео́рия ха́оса - математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных, при определённых условиях, явлению, известному как хаос, которое характеризуется сильной чувствительностью поведения системы к начальным условиям; поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной; примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы.

Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.

Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются некоторому строгому закону и, в каком-то смысле, являются упорядоченными.

Динамический хаос - явление в теории динамических систем, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами. Причиной появления хаоса является неустойчивость по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы.

Так как начальное состояние физической системы не может быть задано абсолютно точно (например, из-за ограничений измерительных инструментов), то всегда необходимо рассматривать некоторую (пусть и очень маленькую) область начальных условий. При движении в ограниченной области пространства экспоненциальная расходимость с течением времени близких орбит приводит к перемешиванию начальных точек по всей области. После такого перемешивания бессмысленно говорить о координате частицы, но можно найти вероятность ее нахождения в некоторой точке.

Детерминированный хаос - сочетает детерминированность и случайность, ограниченную предсказуемость и непредсказуемость и проявляется в столь разных явлениях как кинетика химических реакций, турбулентность жидкости и газа, геофизические, в частности, погодные изменения, физиологические реакции организма, динамика популяций, эпидемии, социальные явления (например, курс акций).